Hai mặt phẳng vuông góc

Đang tải...

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0°.

Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau :

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng đường thẳng a trong (α) vuông góc với c và dựng đường thẳng b trong (β) vuông góc với c. Khi đó góc giữa (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Diện tích hình chiếu của đa giác : S’ = ScosΦ

(với S là diện tích đa giác nằm trong (α), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (β), (Ọ là góc giữa (α) và (β)).

II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa

Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là một góc vuông.

Khi đó ta kí hiệu (α) $\perp$ (β) hoặc (β) $\perp$ (α).

2. Tính chất

a) Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

c) Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α).

d) Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

III. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy.

Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.

Hình lập phương là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông.

IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt tất cả các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.

Hai đáy của hình chóp cụt đều là hai đa giác đều đồng dạng với nhau.

B. DẠNG TOÁN cơ BẢN

Vấn đề 1

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1. Phương pháp giải

Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc vói mặt phẳng kia.
Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vuông góc với AC tại K. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.

a) Chứng minh mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (ABE) và mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (DFK).

b) Chứng minh OH vuông góc với mặt phăng (ACD).

Giải

Ta suy ra DF _L AC (h.3.29)

Ta cũng có DK $\perp$ AC vì H là trực tâm của tam giác ACD.

Do đó AC $\perp$ (DKF) và mặt phẳng (ACD) chứa AC nên (ACD) $\perp$ (DKF).

b) Vì CD $\perp$ (ABE) nên CD $\perp$ AE Ta có H là trực tâm của tam giác ACD và O là trực tâm của tam giác BCD. Hai mặt phẳng (ABE) và (DKF) có giao tuyến là đường thẳng OH. Mặt khác hai mặt phẳng (ABE) và (DKF) đều vuông góc với mặt phẳng (.ACD) nên giao tuyến OH vuông góc với mặt phẳng (ACD).

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm I, có cạnh bằng a và đường chéo BD = a. Cạnh SC = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ vuông góc với mặt phẳng (.ABCD). Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc với nhau.

Giải

Hai mặt phẳng vuông góc

Vì ABCD là hình thoi nên ta có :

Trong mặt phẳng (SAC) hạ IH $\perp$ SA tại H, ta suy ra SA 1 (BDH) (vì SA 1 BD và SA $\perp$ IH).

Do đó BH $\perp$ SA và DH $\perp$ SA (h.3.30).

Vậy $\widehat{BHD}$ là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Hai tam giác vuông AHI và ACS có góc nhọn A chung nên đồng dạng :

Vì BD = a nên ABD là tam giác đều, do đó

Hai mặt phẳng vuông góc

Tam giác BHD có trung tuyến /// ứng với cạnh BD bằng BD/2 nên đó là tam giác vuông tại H hay $\widehat{BHD}$ = 90°.

Vậy hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.

Vấn đề 2

Cho đưòng thẳng a không vuông góc vỏi mặt phẳng (p). Hãỵ xác định mặt phẳng (ổ) chứa a vồ vuông góc vối (p).

1. Phương pháp giải

Từ một điểm M thuộc a, dựng đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) ta có (Q) = (a, b) (h.3.31)

2. Ví dụ

Ví dụ. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên đưòng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A lấy điểm S. Gọi (α) lặ mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (,SCD). Hãy xác định mặt phẳng (α). Mặt phẳng (α) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì ?

Giải

Trong mặt phẳng (SAD) dựng AH $\perp$ SD tại H (h.3.32). Ta có:

Hai mặt phẳng vuông góc

Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB đồng thời chứa AH trong đó AH vuông góc với mặt phẳng (SDC). Vậy (α) $\perp$ (SDC) và (α) = (AB, AH).

Ta có AB // CD nên CD // (α) và H là điểm chung của (α) và (SCD) nên giao tuyến của (α) và (SCD) là đường thẳng qua H và song song với CD cắt SC tại E. Ta có thiết diện của (α) và hình chóp S.ABCD là hình thang AHEB vuông tại A và H vì AB $\perp$ (SAD).

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.22. Hình hộp A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC $\perp$ B’D’, AB’ $\perp$ CD’ và AD’ $\perp$ CB’ Khi nào mặt phẳng (AA’C’C) vuông góc với mặt phẳng (BB’D’D)?

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.23. Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB = CD, AC = BD và AD = BC. Gọi M vầ N lần lượt là trung điểm của AB và Chứng minh MN $\perp$ AB và MN $\perp$ CD. Mặt phẳng (CDM) có vuông góc với mặt phẳng (ABN) không ? Vì sao ?

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.24. Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có AB $\perp$ CD và AC $\perp$ BD thì AD $\perp$ BC

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.25. Cho tam giác ABC vuông tại Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD).

Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ AH vuông góc với BD, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.26. Hình chóp ABCD có đáy là hình thoi ABCD canh a và có SA = SB = SC = a.

Chứng minh rằng :

a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD);

b) Tam giác SBD là tam giác vuông tại S

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.27. a) Cho hình lập phương A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với mặt phẳng (A’BD).

b) Tính đường chéo AC’ của hình lập phương đã cho.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.28. Cho hình chóp đều ABC. Chứng minh rằng :

a) Mỗi cạnh bên của hình chóp đó vuông góc với cạnh đối diện ;

b) Mỗi mặt phẳng chứa một cạnh bên và đường cao của hình chóp đều vuông góc với cạnh đối diện.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.29. Tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và Chứng minh rằng :

a) AH, SK và BC đồng quy.

b) SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và (SAC) $\perp$ (BHK).

c) HK vuông góc với mặt phẳng (SBC) và (SBC) $\perp$ (BHK).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.30. Tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B và AC = 2a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ AH vuông góc với SB tại H, chứng minh AH $\perp$ (SBC).

c) Tính độ dài đoạn AH

d) Từ trung điểm o của đoạn AC vẽ OK vuông góc với (SBC) cắt (SBC) tại Tính độ dài đoạn OK.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.31. Hình chóp ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, (α) cắt sc tại I.

a) Xác định giao điểm K của so với mặt phẳng (α).

b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD // (α).

c) Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (α). Tìm thiết diện cắt hình chóp ABCD bởi mặt phẳng (α).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.32. Hình chóp ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, có AB = 2a, AD = DC = a, có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a.

a) Chứng minh mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (SDC), mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SCB).

b) Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), tính tanφ

c) Gọi (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Hãy xác định (α) và xác định thiết diện của hình chóp ABCD với (α).

⇒ Xem đáp án tại đây.

Hai mặt phẳng vuông góc – Bài tập Hình học lớp 11