Chuyên đề: Hàm số liên tục – Giải tích 11

Chuyên đề: Hàm số liên tục  

A, LÝ THUYẾT

I, Định nghĩa

1, Định nghĩa 1

Hàm số y = f(x) không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

STUDY TIP

Khi xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt lưu ý đến điều kiện hàm số xác định trên một khoảng (dù nhỏ) chứa điểm đó.

Định nghĩa 2

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một đoạn [a, b]nếu nó liên tục trên khoảng (a, b)

STUDY TIP

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó

Định lý 2

STUDY TIP

Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0).

2, Một số định lí cơ bản

Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), các hàm số lượng giác, hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

(Các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit sẽ được học trong chương trình lớp 12)

STUDY TIP

Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lí 3

Nếu hàm số  y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = 0.

Nói cách khác:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).

STUDY TIP

Một phương pháp chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên khoảng (a; b):

– Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

– Chứng minh f(a).f(b) < 0.

B, CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số

Dạng 2. Chứng minh phương trình có nghiệm