Chuyên đề: Giới hạn của dãy số – Giải tích 11

Chuyên đề: Giới hạn của dãy số 

A, LÝ THUYẾT

I, DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN .

1, Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số () có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: lim = 0.

2, Một số dãy số có giới hạn 0

Định lí 4.1

Cho hai dãy số () và ().

STUDY TIP:

Định lí 4.1 thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn là 0.

Cách ghi nhớ các kết quả bên như sau: Khi tử số không đổi, mẫu số càng lớn (dần đến dương vô cực) thì phân số càng nhỏ (dần về 0) 

II, DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.

Ta nói rằng dãy số () có giới hạn là số thực L nếu ( – L) = 0.

Kí hiệu: lim = L.

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

STUDY TIP:

c, Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.

2, Một số định lí

Định lí 4.3

Định lí 4.4

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn |q|<1.

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.

STUDY TIP:

Định lí 4.5

STUDY TIP:

Ta có thể diễn giải “nôm na” định lí 4.5 như sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối càng lớn(dần đến vô cực) thì phân số càng nhỏ(dần về ).

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

Dạng 1. Tính giới hạn dãy số cho bởi công thức

Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.

Dạng 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Dạng 4. Tìm giới hạn của dãy số mà tổng là n số hạng đầu tiên của một dãy số khác.