Vị trí tương đối của hai đường tròn

Đang tải...

Kiến thức cần nhớ:

Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’; r) với R > r và d = OO’.

1) (O) và (O’) cắt nhau <=> R – r < d < R + r.

2) (O) và (O’) tiếp xúc nhau :

a) Tiếp xúc ngoài <=> d = R + r.

b) Tiếp xúc trong <=> d = R – r.

3) (O) và (O’) không giao nhau :

a) Ở ngoài nhau <=> d > R + r.

b) Đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ <=> d < R – r.

Chú ý

– Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau, tiếp điểm luôn nằm trên đường nối tâm.

– Dây chung của hai đường tròn cắt nhau thì vuông góc với đường nối tâm và bị đường này chia ra hai phần bằng nhau.

Ví dụ 15

Cho hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3 cm và 1 cm. Vẽ một đường tròn thứ ba tiếp xúc với hai đường tròn đó. Tính bán kính r của đường tròn thứ ba và độ dài d của đoạn nối tâm của đường tròn thứ ba với tâm chung của hai đường tròn đã cho.

Giải.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Gọi đường tròn bán kính 3 cm là (A) đường tròn bán kính 1 cm là (B) đường tròn thứ ba là (C). Theo đề bài, (C) phải tiếp xúc với (A) và (B), do đó (C) chỉ có thể tiếp xúc

trong với (A).

Ta có d = 3 – r. (1)

a) Nếu (C) và (B) tiếp xúc ngoài với nhau thì ta có d = 1 + r. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2d = 4 hay d = 2. Thay d = 2 vào (2) ta được r = 1 cm.

b) Nếu (C) và (B) tiếp xúc trong với nhau thì ta có d = r – 1. (3)

Từ (1) và (3) suy ra 2d = 2 hay d = 1. Thay d = 1 vào (3) ta được r = 2 cm.

Tóm lại, ta có hai đáp số :

a) d = 2 cm và r = 1 cm ;

b) d = 1 cm và r = 2 cm.

Ví dụ 16

Cho hai đường tròn (O ; 6 cm) và (O’ ; 8 cm) cắt nhau ở A và B. Đường nối

tâm OO’ cắt AB ở H. Biết rằng độ dài đoạn OO’ (tính bằng xentimét) là một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5, hãy tính độ dài các đoạn thẳng AB và OH.

Giải.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Hai đường tròn (O ; 6 cm) và (O’; 8 cm) cắt nhau nên 8 – 6 < 00′ <8 + 6 hay 2 <OO'<14. (1)

Vì độ dài OO’ là một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 nên kết hợp với (1) ta suy ra OO’ = 10 cm.

Vì $10^{2}$ = $6^{2}$ + $8^{2}$ nên

$OO'^{2}$ = $OA^{2}$ + $O'A^{2}$ . Theo định lí Pi-ta-go đảo, tam giác OAO’ vuông ở A.

Đường nối tâm vuông góc với dây chung và chia dây ấy ra hai phần bằng nhau

nên OO’ ⊥ AB và AH = HB = AB/2.

Trong tam giác vuông OAO’ ta có AH.OO’ = OA.O’A.

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Vậy AB = 9,6 cm và OH = 3,6 cm.

BÀI TẬP

54. Cho hai đường tròn ( $O_{1}$ ; R) và ( $O_{2}$ ; R) cắt nhau ở M và B. Gọi AB là dây của đường tròn ( $O_{1}$ ), BC là dây của đường tròn ( $O_{2}$ ). Vẽ hình bình hành ABCD. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM.

55. Vẽ các đường tròn có đường kính là các cạnh của một tứ giác. Chứng minh rằng bốn đường thẳng chứa dây chung của các đường tròn đó cắt nhau tạo thành một hình bình hành.

56. Cho ba đường tròn ( $O_{1}$ ), ( $O_{2}$ ), ( $O_{3}$ ) bằng nhau và ở ngoài nhau. Hãy dựng một đường tròn tiếp xúc ngoài (hoặc tiếp xúc trong) với các đường tròn ( $O_{1}$ ), ( $O_{2}$ ), ( $O_{3}$ ).

57. Cho ba đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại A, B và C. Tia AB cắt một đường tròn ở D. Tia AC cắt đường tròn ấy ở E. Chứng minh rằng DE chính là đường kính của đường tròn ấy.

58. Ba đường tròn không biết tâm, tiếp xúc ngoài với nhau tại A, B và C. Hãy tìm tâm của chúng chỉ bằng thước thẳng.

59. Cho đường tròn (O ; 16 mm) và đường thẳng d đi qua tâm O. Hãy xác định tâm của một đường tròn có bán kính 4 mm, tiếp xúc với đường tròn (O) và tiếp xúc với đường thẳng d.

60. Cho hai đường tròn có cùng bán kính là r và có đoạn nối tâm cũng bằng r. Hãy xác định tâm của một đường tròn có bán kính r/2 và tiếp xúc với hai đường tròn đã cho.

61. Cho hai đường tròn ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB (A, B là các tiếp điểm). Kẻ hai tiếp tuyến chung trong cắt AB ở C và D. Chứng minh rằng AC = DB.

62. Kẻ bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoài nhau. Chứng minh rằng đoạn tiếp tuyến chung trong bao gồm giữa các tiếp tụyến chung ngoài bằng đoạn tiếp tuyến chung ngoài bao gồm giữa các tiếp điểm.

63. Cho tam giác ABC có BC = 1 (đơn vị độ đài), $r_{A}$ là bán kính của đường tròn bàng tiếp trong góc A và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Biết rằng $r_{A}$ = 2r, hãy tính diện tích tam giác ABC.

64. Trong hình vuông ABCD, ta vẽ các nửa đường tròn có đường kính là AD và BC. Vẽ đường tròn (P) tiếp xúc với hai nửa đường tròn đó và tiếp xúc với cạnh AB. Biết DC = 2 $n^{2}$ , hãy tính bán kính của đường tròn (P).

65. Cho hai đường tròn ( $O_{1}$ ), ( $O_{2}$ ) ở ngoài nhau. Từ một điểm p ở ngoài hai đường tròn đó, hãy dựng hai đoạn thẳng PC và PD sao cho C thuộc ( $O_{1}$ ), D thuộc ( $O_{2}$ ), PC = PD và góc CPD = α .

Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.

Vị trí tương đối của hai đường tròn – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học