Hướng dẫn giải bài Vị trí tương đối của hai đường tròn – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn

 

54.

Gọi I là giao điểm của  và MB thì I là trung điểm của MB. Gọi C’ là điểm đối xứng với c qua I. Do hai đường tròn có bán kính bằng nhau nên  = .

Suy ra  = . Do  = R nên  = R, tức là C’ thuộc ().

Từ đó suy ra ACMD là hình bình hành. Ta có ΔACM = ΔMDA nên bán kính của các đường tròn ngoại tiếp của chúng cũng bằng nhau. Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM bằng R.

55.

Trước hết, ta chứng minh tâm của các đường tròn đó là các đỉnh của một hình bình hành, sau đó áp dụng tính chất đường nối tâm vuông góc với dây chung của hai đường tròn cắt nhau.

56.

Tâm T của đường tròn phải tìm cách đều ba điểm , , .

57.

Sử dụng tính chất tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn và tiên đề về đường thẳng song song, chứng minh rằng và  cùng song song với .

58.

Áp dụng kết quả của bài trên, kéo dài các đoạn AB, BC, CA về hai phía, ta có các đường kính IK, GH, DE (xem hình vẽ). Tia DC cắt đường tròn chứa dây AC ở F. Tia FA cắt GH ở , cắt IK ở . Tia  cắt ED ở  Đó là ba tâm phải tìm.

59.

Tâm O’ phải tìm là giao điểm của các đường thẳng xy, x’y’ (song song với đường thẳng d và cách  d 4 mm) với các  đường tròn tâm O bán kính 12 mm và 20 mm. Tất cả có tám giao điểm.

60.

 

61.

Ta có DE = DA (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm).

Tương tự CF = CB, CA = CG và DH = DB.

Từ đó DE + DB = AB = CF + CA = 2AC + GF = 2BD + HE nhưng GF = HE nên AC = BD.

62.

 

Hai đường tròn () và () là hai đường tròn bàng tiếp của ΔABO khi đó AT = BS = p – AB (p là nửa chu vi của ΔABO) => ST = SA + AT = AD’ + BS = AD’ + D’B’ = AB.

63.

Cách 1. Theo ví dụ 14 ta có AE = p – a, AE’ = p. ΔAO’E’ đồng dạng với ΔAOE suy ra

64.

Gọi các trung điểm của AD và AB là E và F, tiếp điểm của hai nửa đường tròn là O, bán kính của đường tròn (P) là r. Chú ý O, P, F thẳng hàng và AEOP vuông ở O.  

65.