Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai - Bài tập đại số lớp 10

Đang tải...

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Giải và biện luận phương trình

ax + b = 0 (1)

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Khi a ≠ 0 phương trình (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Giải và biện luận phương trình bậc hai

a $x^2$ + bx + c = 0, (a ≠ 0) (2)

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

3. Định lí Vi-ét.

Nếu phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2, thì:

Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình $x^2$ – Sx + P = 0.

4. Phương trình có nghiệm trùng phương a $x^4$ + b $x^2$ + c = 0, (a ≠ 0) có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt t = $x^2$ , (t ≥ 0).

5. Có thể khử dấu giá trị tuyệt đối trong phương trình chứa án trong dấu giá trị tuyệt đối nhờ sử dụng định nghĩa:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Đặc biệt, đối với phương trình |f(x)| = |g(x)|, ta có:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

6. Khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bận hai ta thường bình phương hai vế để khử dấu căn thức và đưa tới một phương trình hệ quả.

B. BÀI TẬP MẪU

BÀI 1

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Giải

a) $m^2$ (x + 1) – 1 = (2 – m)x

⇔ ( $m^2$ + m – 2)x = 1 – $x^2$

⇔ (m – 1)(m + 2)x = -(m – 1)(m + 1).

Nếu m = 1 thì có mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình.

Nếu m = -2 thì phương trình vô nghiệm.

b) Điều kiện của phương trình là x ≠ 2. Khi đó ta có:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho khi và chỉ khi

hay -2m – 4 ≠ 2m – 4 ⇔ m ≠ 0.

Với m = 2 phương trình (3) trở thành 0, x = -8, phương trình này vô nghiệm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

BÀI 2

Cho phương trình bậc hai

$x^2$ + (2m – 3)x + $m^2$ – 2m = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó.

Giải

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi biểu thức Δ > 0. Ta có

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Vậy khi m < 9/4 phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có hai nghiệm m ≤ 9/4. Theo định lí Vi-ét ta có:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

BÀI 3

Cho phường m $x^2$ + ( $m^2$ – 3)x + m = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình x1, x2 thỏa mãn

Giải

a) Phương trình có nghiệm kép m ≠ 0 và Δ = 0. Ta có

Δ = $(m^2 - 3)^2$ – 4 $m^2$ = $m^4$ – 10 $m^2$ + 9.

Phương trình trùng phương $m^4$ – 10 $m^2$ + 9 = 0 có bốn nghiệm m = ±1 và m = ±3

Với m = 1 hoặc m = -3 phương trình đã cho có nghiệm kép x = 1.

Với m = -1 hoặc m = 3 phương trình đã cho có nghiệm kép x = -1.

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là

m ≠ 0 và Δ = $m^4$ – 10 $x^2$ + 9 ≥ 0

Theo định lí Vi-ét ta có

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

BÀI 4.

Giải phương trình sau bằng cách bình phương hai vế:

Hướng dẫn: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được một phương trình hệ quả. Vì vậy, khi tìm ra các giá trị của ẩn số, ta phải thử lại xem giá trị đó có thỏa mãn phương trình đã cho hay không.

Giải

a) Điều kiện của phương trình là x ≥ 9/4. Ta có.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

b) Điều kiện của phương trình là $x^2$ – 7x + 10 ≥ 0

Ta có

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Thử lại ta thấy phương trình đã cho chỉ một nghiệm x = 1.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho x = 1.

BÀI 5.

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Giải

a) Ta xét hai trường hợp

Với x ≥ 3m/4 phương trình đã cho trở thành

4x – 3m = 2x + m ⇔ 2x = 4m ⇔ x =2m.

Ta có 2m ≥ 3m/4 ⇔ m ≥ 0.

Vậy với m ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = 2m.

Với x < 3m/4 phương trình đã cho trở thành

-4x + 3m = 2x + m ⇔ 6x = 2m ⇔ x =m/3.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Kết luận: Với m > 0 phương trình có nghiệm x = 2m và x = m/3

Với m = 0 phương trình có nghiệm x = 0

Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

b) Ta có

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Ta thấy

(1) ⇔ x = 2m + 1

(2) ⇔ 5x = -1 ⇔ x = -1/5

Hay nghiệm này trùng nhau khi 2m + 1 = -1/5 ⇔ 2m = -6/5 ⇔ m = -3/5.

Kết luận. Với m ≠ -3/5 phương trình có hai nghiệm phân biệt

x = 2m + 1 và x = -1/5

Với m = -3/5 phương trình có nghiệm kép x = -1/5.

Ghi chú. Vì hai vế của phương trình là những biểu thức không âm nên ta cũng có thể bình phương hai vế để được một phương trình tương đương.

c) Điều kiện của phương trình x ≠ -1. Khi đó ta có

⇔ (m + 3)x + 2(3m + 1) = [(2m – 1)x + 2](x + 1)

⇔ (m + 3)x + 2(3m + 1) = (2m – 1) $x^2$ + (2m + 1)x + 2

⇔ (2m – 1) $x^2$ + (m – 2)x – 6m = 0 (*)

Với m = 1/2 phương trình (*) trở thành

Gia trị x = -2 thỏa mãi điều kiện của phương trình đã cho.

Với m ≠ 1/2 phương trình (*) là một phương trình bậc hai có biệt thức

Δ = $(m - 2)^2$ + 24m(2m – 1)

= 49 $x^2$ – 28m + 4

= $(7m - 2)^2$ ≥ 0.

Khi m ≠ 2/7 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

C. BÀI TẬP

3.13. Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.14. Cho phương trình

(m + 2) $x^2$ + (2m + 1)x + 2 = 0.

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.15. Cho phương trình

9 $x^2$ + (2m + 1)x + 2 = 0

a) Chứng tỏ rằng với m > 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.16. Giải phương trình.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.17

Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

⇒ Xem đáp án tại đây.

Bài tập trắc nghiệm

3.18 Nghiệm của phương trình:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

A. x = -2/3 B. x = 1

C. x = 1 và x = -2/3 D. x = -1/3

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.19 Trong các giá trị nào sau đây, giá trị nào là nghiệm của phương trình

|3x – 4| = $x^2$ + x – 7

A. x = 0 và x = -2 B. x = 0

C. x = 3 D. x = -2

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.20 Tìm nghiệm của phương trình:

A. x = 1/2 B. x = 1

C. x = 0 D. Phương trình vô trình.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.21 Nghiệm của phương trình:

A. x = 0 và x = 1 B. x = 1 và x = 2

C. x = 0 và x = 2 D. x = 0 và x = 1

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.22 Nghiệm của phương trình | $x^2$ – 3x – 4| = |4 – 5x| là:

A. x = 0, x = 2, x = 8 và x = – 4

B. x = 0 và x = 4

C. x= – 2 và x = 4

D. x = 1 và x = -4

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.23 Phương trình

(m + 1) $x^2$ – 3(m – 1)x + 2 = 0

có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia khi giá trị của tham số m là:

A. m = 1 B. m = -1

C. m = 0 hoặc m = 3 D. m = 2

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.24. Phương trình

3 $x^2$ + 5x + 2(m + 1) = 0

Có hai nghiệm âm phân biệt khi tham số m nằm trong khoảng nào sau đây?

A. 0 < m < 1

B. -1 < m < 1/24

C. -2 < m < 0

D. -1 < m < 1

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.25 Tìm m để phương trình $x^2$ + 2(m + 1)x + 2(m + 6) = 0 có hai nghiệm x1, x2 mà x1 + x2 = 4

A. m = 1

B. m = -3

C. m = -2

D. Không tồn tại m

⇒ Xem đáp án tại đây.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai – Bài tập đại số lớp 10