Ôn thi học sinh giỏi toán 11 phần số học

Câu 1: Trên bảng ô vuông , người ta đặt một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có không quá một viên sỏi. Với mỗi cách đặt ta cho tương ứng với số điểm bằng tổng số: các hàng, các cột, các đường chéo chứa số lẻ các viên sỏi trên đó. Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm.

a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm tương ứng với cách đặt đó là 8.

b) Chứng minh rằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách đặt sỏi với điểm số là một số lẻ.

Hướng dẫn giải bài 1

a) Giả sử ô chính giữa không có sỏi và điểm số của cách đặt là 8. Như vậy 3 hàng, 3 cột và hai đường chéo đều có một số lẻ viên sỏi. Gọi a,b,c,d là số sỏi trong các ô như hình vẽ, a,b,c,d . Khi đó các ô đối xứng với a,b,c,d qua tâm sẽ có số sỏi tương ứng là a’,b’,c’,d’ sao cho a+a’=b+b’=c+c’=d+d’=1.

Từ đó (a+b+c)+(a’+b’+c’)=3 suy ra một trong hai tổng a+b+c hoặc a’+b’+c’ là một số chẵn. Khi đó dòng thứ nhất hoặc dòng thứ ba có tổng số sỏi là một số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.

Vậy không tồn tại cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện bài toán

b) Ta gọi hai cách đặt sỏi là liên hợp với nhau nếu ô trên cùng bên trái của chúng có số sỏi khác nhau và các ô còn lại tương ứng có số sỏi như nhau.

Xét hai cách đặt liên hợp với nhau (B) và (B’). Tổng số sỏi ở dòng 1, cột 1 và 1 đường chéo cả hai bảng đôi một khác nhau về tính chẵn lẻ. Các dòng, cột và đường chéo còn lại của hai bảng có số sỏi như nhau. Do đó điểm số của (B) và (B’) khác nhau 3 đơn vị, suy ra số điểm của (B) và (B’) có tính chẵn lẻ khác nhau. Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, một cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt còn lại có điểm số là một số lẻ suy ra điểu phải chứng minh.