Đường thẳng và mặt phẳng song song
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
Giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) ta có ba vị trí tương đối như sau :
1. d và (α) cắt nhau tại M, kí hiệu d ∩ (α) = {M};
2. d song song với (α), kí hiệu d // (α) hay (α) // d ;
3. d nằm trong (α), kí hiệu d ⊂ (α).
II. ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT
1. Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).
2. Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d.
3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
4. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
1. Phương pháp giải
a) Ta chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
b) Ta chứng minh đường thẳng đã cho nằm trong một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho.
2. Ví dụ
Ví dụ. Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC. Chứng minh rằng MG // (ACD).
Giải
Gọi I là trung điểm AD (h.2.12)
Trong tam giác CBI ta có
Mà CI nằm trong mặt phẳng (ACD) suy ra MG // (ACD).
Vấn đề 2
Dựng thiết diện ỗong ỗong với một đường thẳng
1. Phương pháp giải
Ta có thể dùng định lí sau :
Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d’ thì d’ song song với d.
2. Ví dụ
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và đồng thời song song vói SC và AD.
Giải
Vì (α) song song với AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD (h.2.13).
Tương tự (α) song song với SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo các giao tuyến song song với SC.
Gọi O = AC ∩ BD, ta có SC // MO (đường trung bình trong tam giác SAC). Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P. Qua M, kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N.
Theo nhận xét trên, ta có MNIIPQ và NPII sc.
Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.
C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
2.16. Cho tứ diện Gọi 
2.17. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF
a) Chứng minh rằng OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. Chứng minh rằng MN // (CEF).
2.18. Cho hình chóp ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi ơ là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3 AM.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng NG // (SCD).
c) Chứng minh rằng MG // (SCD).
2.19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh rằng OG // (SBC).
b) Cho M là trung điểm của Chứng minh rằng CM // (SAB).
2.20. Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng (α) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.
2.21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là một điểm đi động trên đoạn AB. Một mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA và BC ; (α) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P và Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Gọi I là giao điểm của MN và Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định.
Comments mới nhất