Đường kính và dây của đường tròn – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Đường kính và dây của đường tròn  

 

Kiến thức cần nhớ:

1. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

2. Trong một đường tròn :

    – Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

    – Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Ví dụ 9.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy một điểm c. Nối C với một điểm M bất kì trên đường tròn (O). Chứng minh rằng ta luôn có : hoặc CA ≤ CM ≤ CB hoặc CB ≤ CM ≤ CA.

Giải

 

1) Điểm C thuộc đoạn AB.

Nối M với O. Trong tam giác COM, ta có :

a) Nếu C nằm giữa A và O:

Khi M khác A và M khác B thì

                       OM – OC < CM < OM + OC, tức là

                       CA < CM < CB.

Khi trùng với A hoặc M trùng với B

ta có CA = CM hoặc CB = CM.

Tóm lại : CA < CM < CB.

b) Nếu C nằm giữa B và O : Lí luận tương tự câu a) ta có

                               CB  ≤ CM  ≤ CA.

c) Nếu c trùng với O : Ta luôn có CA = CM = CB.

d) Nếu c trùng với A hoặc B : Ta luôn có CA  ≤ CM  ≤ CB hoặc CB  ≤ CM  ≤ GA.

(Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn).

2) Điểm C không thuộc đoạn AB.

a) Trường hợp C thuộc tia Ax.

Khi M khác A và khác B thì trong tam giác COM ta có :

         CO – OM < CM < CO + OM hay

         CO – OA < CM < CO + OB,

tức là CA < CM < CB.    

Khi M trùng với A hoặc M trùng với B ta có

CA = CM hoặc CB = CM.

Tóm lại: CA < CM < CB.  

b) Trường hợp C thuộc tia By : Lí luận tương tự câu a) ta có CB < CM < CA.

Ví dụ 10

Cho đường tròn (O), dây PQ. Vẽ đường kính AB không cắt dây PQ. Các đường vuông góc với PQ tại p và Q cắt AB theo thứ tự ở H và K.

Chứng minh rằng AH = BK.

Giải. 

Kẻ OI ⊥ PQ. Ta có HP // OI // KQ (cùng vuông góc với PQ). IP = IQ (đường kính vuông góc với một dây).

Do đó IO là đường trung bình của hình thang vuông HPQK. Suy ra OH = OK.

Ta lại có OA = OB (bán kính). Vì vậy

                            AH = OA – OH = OB – OK = BK.

 

BÀI TẬP

33. Cho tam giác ABC cân tại A, BC = 24 cm, AB = 20 cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

34. Cho đường tròn (O), bán kính OA bằng cm. Kẻ bán kính OB vuông góc với OA. Gọi I là trung điểm của OB. Vẽ dây AC đi qua I. Tính độ dài AC.

35. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm C và D cách đều tâm O. Qua C và D, kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn ở I và K. Chứng minh rằng IC vuông góc với IK.

Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.