Đại cương về phương trình – Chương III: Phương trình. Hệ phương trình – Giải bài tập đại số 10

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Khái niệm phương trình

a) Phương trình một ẩn

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x)là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực xo sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).

b) Điều kiện của một phương trình

Điều kiện của phương trình là những điều kiện đối với ẩn số x để f(x)và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của x thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.

c) Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn: phương trình hai ẩn, phương trình ba ẩn,…

d) Phương trình chứa tham số

Trong một phưong trình (một hoặc nhiều ẩn) ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

a) Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đưong khi chúng có cùng tập nghiệm.

Định lí:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương.

– Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

– Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

c) Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x). Ta viết: f(x) = g(x) ⇒ f1(x) = g1(x).

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 (Trang 57, SGK)

Cộng hai vế tương ứng của hai phương trình đã cho ta được phương trình: 5x = 5.

a) Phương trình nhận được không tương đương với một trong hai phương trình đã cho. 

b) Phương trình nhận được không phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho.

Bài 2 (Trang 57, SGK)

Nhân hai vế tương ứng của hai phương trình đã cho ta được phương trình:

.

a) Phương trình nhận được không tương đương với một trong hai phương trình đã cho.

b) Phương trình nhận được không phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho.

Bài 3 (Trang 57, SGK)

a) Điều kiện của phương trình: 3 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3.

Khi đó phương trình + x = + 1 ⇔ x = 1.

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1.

b) Điều kiện của phương trình:

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

c) Điều kiện của phương trình: x – 1 > 0 ⇔ x > 1.

Khi đó phương trình đã cho tương đương với  ⇔ x = ± 3.

d) Điều kiện của phương trình:

Không có giá trị nào của x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện này. Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 4 (Trang 57, SGK)

a) Điều kiện của phương trình: x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ -3.

Khi đó phương trình đã cho tương đương: (x + 1)(x + 3) = x + 5.

⇔  ⇔

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.

Khi đó phương trình đã cho tương đương: 2x(x – 1) + 3 = 3x

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3/2.

c) Điều kiện của phương trình: x – 2 > 0 ⇔ x >2.

Khi đó phương trình đã cho tương đương:

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 5.

Kết hợp với điều kiện, vậy phương trình đã cho vô nghiệm.