Tính chất tia phân giác của một góc – Sách bài tập Toán 7 tập II
ĐỀ BÀI:
Bài 40.
Hình sau là thước có khoảng cách giữa hai lề song song với nhau bằng h. Để vẽ tia phân giác của góc xOy, ta áp một lề của thước vào cạnh Ox rồi kẻ đường thẳng a theo lề kia, sau đó làm tương tự với cạnh Oy ta kẻ được đường thẳng b. Vì sao giao điểm M của a và b nằm trên tia phân giác góc xOy?
Bài 41.
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C và đường phân giác trong của góc A cùng đi qua một điểm.
Bài 42.
Cho tam giác nhọn ABC. Tìm điểm D thuộc trung tuyến AM sao cho D cách đều hai cạnh của góc B.
Bài 43.
Cho đường thẳng AC và CD cắt nhau tại O. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng AB và CD.
Bài 44.
Để vẽ đường phân giác của góc xOy có đỉnh O nằm ngoài tờ giấy, bạn Minh đã vẽ các điểm A, B như trên hình sau. Đường thẳng AB có là đường phân giác của góc xOy hay không? Vì sao?
BÀI TẬP BỔ SUNG:
Bài 5.1.
Cho góc xOy bằng 60°, điểm M nằm trong góc đó và cùng cách Ox, Oy một khoảng bằng 2cm. Khi đó đoạn thẳng OM bằng
(A) 2cm; (B) 3cm;
(C) 4cm; (D) 5cm
Hãy chọn phương án đúng.
Bài 5.2.
Cho điểm A nằm trong góc vuông xOy. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A đến Ox, Oy. Biết AM = AN = 3cm. Khi đó
(A) OM = ON > 3cm (B) OM = ON < 3cm
(C) OM = ON = 3cm (D) OM # ON
Bài 5.3.
Cho góc đỉnh O khác góc bẹt
a) Từ một điểm M trên tia phân giác của góc O, kẻ các đường vuông góc MA, MB đến hai cạnh của góc này. Chứng minh rằng AB ⊥ OM.
b) Trên hai cạnh của góc O lấy hai điểm C và D, sao cho OC = OD. Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai cạnh của góc O tại C và D cắt nhau ở E. Chứng minh rằng OE là tia phân giác của góc O.
Bài 5.4.
Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho AP = AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh rằng:
a) Tam giác OBC là tam giác cân.
b) Điểm O cách đều hai cạnh AB, AC.
c) AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.
Bài 5.5.
Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân giác của một cặp góc trong cùng phía cắt nhau tại I. Chứng minh rằng I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:
Bài 40.
(h. 57)
Kẻ MH ⊥ Ox, MK ⊥ Oy. Do chiều rộng của thước bằng h nên
MH = MK = h. Do đó M thuộc tia phân giác của góc xOy.
Bài 41.
(h. 58)
Gọi K là giao điểm của hai đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C. ’
Kẻ KD ⊥ AB, KE ⊥ BC, KF ⊥ AC.
K thuộc tia phân giác của CBD => KD = KE. (1)
K thuộc tia phân giác của BCF => KE = KF. (2)
Vậy K thuộc tia phân giác của BAC , tức là đường phân giác trong của góc A cũng đi qua điểm K.
Bài 42.
(h. 59)
Điểm D phải dựng là giao điểm của đường trung tuyến AM và tia phân giác của góc B.
Bài 43.
(h. 60)
Xét điểm M nằm trong góc AOC. Tập hợp các điểm M cách đều OA và OC là tia phân giác Ox của góc AOC.
Tương tự, xét điểm M nằm trong các góc AOD, DOB, BOC, tập hợp các điểm M là các tia phân giác Oy, Ox’, Oy’.
Vậy tập hợp phải tìm gồm hai đường phân giác xx’, yy’ của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, CD.
Bài 44.
(h. 61)
Đường thẳng AB là đường phân giác của góc xOy.
Giải thích :
AD = AE => A thuộc tia phân giác của góc xOy.
BM = BN => B thuộc tia phân giác của góc xOy.
Vậy AB là đường phân giác của góc xOy.
Xem thêm: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác tại đây.
BÀI TẬP BỔ SUNG:
Bài 5.1.
Do M cùng cách Ox, Oy những khoảng bằng nhau nên M nằm trên tia phân giác của góc xOy. Gọi A là chân đường vuông góc kẻ từ M đến Ox thì tam giác vuông AOM là “một nửa” tam giác đều.
Vậy OM = 2MA = 4cm. Chọn (C).
Bài 5.2.
Dễ thấy OMAN là một hình vuông nên OM = ON = AM = 3cm.
Cách khác : Do A nằm trên tia phân giác của góc xOy nên tam giác MAO vuông cân tại M, bởi vậy MO = MA = 3cm.
Tương tự, NO = NA = 3cm. Chọn (C).
Bài 5.3.
(h.bs.16)
a) Gọị H là giao điểm của AB và OM.
Xét hai tam giác vuông AOM và BOM.
Ta có cạnh huyền OM chung,
MA = MB (vì M thuộc tia phân giác của góc O).
Vậy tam giác AOM = tam giác BOM.
Suy ra OA = OB. Từ đó có tam giác AOH = tam giác BOH (c.g.c).
Suy ra góc OHA = góc OHB = 90°,
b) Để chứng minh OE là tia phân giác của góc o, ta cần chứng minh hai tam giác vuông COE và
DOE bằng nhau. Hai tam giác này có cạnh huyền OE chung và OC = OD (giả thiết) nên
chúng bằng nhau. Suy ra góc EOC = góc EOD, hay OE là tia phân giác của góc O.
Bài 5.4.
(h.bs.17)
Ta sẽ chứng minh tam giác OBC có hai góc OBC và OCB bằng nhau.
Ta có tam giác ABQ = tam giác ACP (c.g.c) nên ACP = ABQ.
Mặt khác góc ACB = góc ABC do tam giác ABC cân
tại A nên OCB = OBC. Suy ra tam giác OBC cân tại O.
Hai tam giác AOB và AOC có :
cạnh AO chung,
AB = AC (giả thiết),
OB = OC (theo a)).
Vậy tam giác AOB = tam giác AOC (c.c.c).
Suy ra OAB = OAC hay AO là tia phân giác của góc BAC.
Suy ra O cách đều hai cạnh AB, AC.
c) Gọi giao điểm của AO với BC là H. Hai tam giác AHB và AHC có cạnh
AH chung, AB = AC và BAH = CAH (theo b). Vậy tam giác AHB = tam giác AHC.
Suy ra HB = HC và góc AHB = góc AHC = 90°, tức là AO ⊥ BC và AO đi qua trung điểm của BC.
Bài 5.5.
(h.s.18)
Gọi A, B, c lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến a, b, c. Xét hai góc trong cùng phía E
và F. Do I thuộc tia phân giác của góc E nên IA = IC. (1)
Do I thuộc tia phân giác của góc F nên IC = IB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA = IB = IC, tức là I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Trackbacks