Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Sách bài tập Toán 7 tập II

Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Sách bài tập Toán 7 tập II

ĐỀ BÀI:

Bài 45.

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng.

Bài 46.

Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đoạn thẳng AB, BC, CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.

Bài 47.

Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.

Bài 48.

Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trọng điểm của BC.

Bài 49.

Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.

Bài 50.

Cho tam giác ABC có Â = 70°, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính góc BIC.

Bài 51.

Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CB cắt nhau tại I trong đó góc BIG bằng:

a) 120°

b) ∝(∝ > 90°)

Bài 52.

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Bài 53.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân  giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến  AB và AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE.

b) Tính các độ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm.

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài 6.1.

Cho tam giác ABC. Trên tia phân giác của góc B, lấy điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho O cách đều hai cạnh AB, AC. Khẳng định nào sau đây sai?

(A) Điểm O nằm trên tia phân giác của góc A.

(B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C.

(C) Điểm O cách đều AB, BC.

(D) Điểm O cách đều AB, AC, BC.

Bài 6.2.

Cho tam giác ABC có góc A = Góc B + góc C.  Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Khi đó BOC bằng:

(A) 85° ;                       (B) 90° ;

(C) 135° ;                     (D) 150°

Bài 6.3.

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF.

Bài 6.4.

Hai đường phân giác AA1 và BB1 của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc ACM, BCM nếu :

a) Góc AMB = 136∘.

b) Góc AMB = 111∘.

Xem thêm: Tính chất tia phân giác của một góc  tại đây.

LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:

Bài 45.

(h. 62)

G là trọng tâm của tam giác ABC nên G  thuộc đường trung tuyến AM.              (1)

Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường trung tuyến nên I cũng

thuộc đường trung tuyến AM.                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, G, I thẳng hàng.

Bài 46.

(h. 63)

Điểm cách đều các đường thẳng AB và BC nằm trên các đường phân giác (trong và ngoài) của

góc B.

Điểm cách đều các đường thẳng AB và AC nằm trên các đường phân giác (trong và ngoài) của

góc A.

Điểm cách đều các đường thẳng AB, BC, CA là giao điểm của các đường phân giác trên, đó là

bốn điểm I, K, M, N.

Để khoảng cách nói trên là ngắn nhất, ta chọn điểm I, giao điểm của các đường phân giác trong của A tam giác BC

Bài 47.

(h. 64)

Kéo dài AM đoạn MD = AM.

tam giác AMB = tam giác DMC (c.g.c) => góc A1  = góc D, AB = CD.  (1)

Ta có góc A₁ = góc A₂ , góc A₁ = góc D nên góc A₂ = góc D. Do đó tam giác ACD cân, suy ra

AC = CD.                                                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC. Vậy tam giác ABC là tam giác cân.

Cách giải khác.

Kẻ MH ⊥  AB, MK ⊥  AC (h.65). AM là tia phân giác của góc A nên MH = MK.

Tam giác MHB = tam giác MKC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=> góc B = góc C.

Vậy ABC là tam giác cân.

Bài 48.

(h. 66)

Các đường phân giác BD và CE cắt nhau ở K nên AK là đường phân

giác của góc A.

Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường trung tuyến, do đó AK đi

qua trung điểm M của BC.

Bài 49.

(h. 67)

Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác.

Theo tính chất tia phân giác của một góc, D thuộc tia phân giác của góc A nên cách đều hai

cạnh của góc, do đó DE = DF.

Bài 50.

(h.68)

Tam giác ABC có góc = 70° nên

góc B + góc C = 180° – 70° =110°.

Do góc B1 = góc B2, góc  C1 = góc C2   nên góc B1 + góc C1 = (góc B + góc C )/2  = 55°.

góc BIC = 180° – (B1 +C1) = 180°-55° =125°.

Bài 51.

(h. 69)

a) Tam giác BIC có góc BIC = 120° nên

góc B₁ +góc C₁ =480° -120° = 60°.

Suy ra: góc B + góc C = 60° .2 = 120°.

Do đó : Â = 180° -120° = 60°.

b) Góc B1 + góc C1 = 180° – α

góc B + góc C = 2(1-80°-a) = 360°-2α

 = 180° – (B + C) = 180° – (360° – 2α)

= 180° – 360° + 2α = 2α -180°.

Bài 52.

(h. 70)

Các đường phân giác của các góc ngoài tại A và C của tam giác ABC cắt nhau tại K nên BK là tia

phân giác của góc B (xem bài 41).

Các tia phân giác các góc A và c của tam giác ABC cắt nhau tại I nên BI là tia phân giác của góc

B. Do đó ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Bài 53.

(h. 71)

a) AI là tia phân giác của góc A nên

ID = IE.                                           (1)

Các tam giác vuông ADI, AEI có góc DAI = góc EAI = 45° nên là tam giác vuông cân,

do đó  AD = ID, AE = IE.            (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC:

BC² =AB²+AC² =6²+8² = 36 + 64 = 100 => BC = 10 (cm).

Kẻ IF ⊥ BC.

Tam giác IBD = tam giác IBF (canh huyền – góc nhọn) => BD = BF.

Tam giác ICE = tam giác ICF (cạnh huyền – góc nhọn) => CE = CF.

Ta có :

AB + AC – BC = AD + DB + AE + EC – BF – CF.

Do BD = BF, CE = CF nên :

AB + AC – BC = AD + AE => 6 + 8 – 10 = AD + AE => AD + AE = 4 (cm).

Theo câu a) ta có AD = AE nên AD = AE = 2cm.

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài 6.1

Điểm O cách đều AB, AC nên o thuộc tia phân giác của góc A. Mặt khác, O  thuộc tia phân giác

của góc B nên o là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy (B) sai còn (A), (C),

(D) đúng.

Đáp số: (B).

Bài 6.2.

Tam giác ABC có góc A = góc B + góc C nên nó vuông tại A; AO, CO lần lượt là tia phân giác của A và C nên BO là tia phân giác của B. Ta có

góc OBC + góc OCB = 1/2(góc B + góc C) = 45° nên góc BOC = 135°. Chọn (C).

Bài 6.3.

(h.bs.19).

Vì điểm I cạch đều ba cạnh của tam giác ABC và nằm trong tam giác nên I là giao điểm của ba

đường phân giác của tam giác ABC, tức là BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C. Do

EF//BC nên góc B1 = góc I1 (so le trong), suy ra góc I2 = góc B2.

Vậy tam giác EBI cân tại E, tức là EI = EB.

Tương tự ta có FI = FC.

Vậy EF = EI + IF = BE + CF.

Bài 6.4.

(h.bs.20)

Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên CM là tia phân giác của góc

C.

a) 1/2 ( góc A + góc B) = góc MAB + góc MBA = 180 ° – góc AMB= 180° -136° = 44°.

Suy ra góc A  + góc B = 2.44° = 88°. Suy ra góc C = 180° – 88° = 92°.

Vậy góc ACM = góc BCM = 92° : 2 = 46°.

b) Ta có 1/2(góc A + góc B) = 180° -111°.= 69°. Suy ra góc A+ góc B = 138°. Suy ra góc C = 180° –

138° = 42°. Vậy góc ACM = góc BCM = 21°.