Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ( tiếp theo) – Sách bài tập Toán 7 tập II
LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:
Bài 31.
(h. 48)
GK = 1/3 CK ; AG = 2GM ;
GK = 1/2 CG ; AM =3/2AG;
AM = 3GM.
Bài 32.
(h.49)
Xét A ABC có các đường trung tuyến BD, CE bằng nhau.
Gọi G là giao điểm của BD và CE.
Ta có BG = 2/3 BD, GD = 1/3 BD, CG = 2/3 CE,
GE = 1/3 CE. Do BD = CE nên BG = CG; GD = GE.
Do đó tam giác BGE = tam giác CGD (c.g.c), suy ra BE = CD.
Ta lai có BE =1/2.AB, CD =1/2.AC nên AB = AC.
Vậy tam giác ABC là tam giác cân.
Bài 33.
(h. 50)
a) Tam giác AMB = tam giác AMC (c.c.c)
=> góc AMB = góc AMC.
Ta lại có góc AMB + góc AMC = 180°
nên góc AMB = góc AMC = 90°. Vậy AM ⊥ BC.
b)Tam giác AMC vuông tại M nên theo định lí Py-ta-go :
AM2 = AC2 – MC2 = 342 -162 = 1156 – 256 = 900
=> AM = 30cm.
Bài 34.
(h.51)
a) Gọi AM, BN, CP là các đường trung tuyến của A ABC.
Ta có GD = AG = 2GM và GD = GM + MD nên GM = MD.
Tam giác BMD = tam giác CMG (c.g.c), suy ra
BD = CG = 2/3 CP (1)
Ta có BG = 2/3.BN (2)
GD = AG = 2/3.AM (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b) Gọi GE, DF là các đường trung tuyến của tam giác BGD. Hãy chứng minh:
BM = 1/2 BC, GE = 1/2 AB, DF = AN = 1/2AC.
Bài 35
(h.52)
Gọi G là giao điểm của BD và CE. Theo bất đẳng thức trong tam giác GBC:
GB + GC > BC = 10cm.
=> 2/3BD + 2/3 CE > 10cm
=> BD + CE > 3/2.10cm = 15cm.
Bài 36
(h. 53)
Xét tam giác ACD, ta có CB là đường trung tuyến.
Điểm E thuộc đoạn CB và CE = 2/3 CB nên E, là
trọng tâm của tam giác ACD.
Do đó AK là đường trung tuyến của tam giác ACD, vậy CK = KD
Bài 37.
(h. 54)
a) Áp dụng kết quả của bài 64 chương n, SBT Toán 7 tập một vào các tam giác ABC và ABG, ta có :
DE//AB, DE = 1/2AB, IK//AB, IK = 1/2AB.
Do đó : DE // IK và DE = IK.
b) Tam giác GDE và tam giác GIK có :
DE = IK (câu a)
góc GDE = góc GIK (so le trong, DE//IK)
góc GED = góc GKI (so le trong, DE//IK)
Do đó tam giác GDE = tam giác GIK (g.c.g), suy ra GD = GI.
Ta có GD = GI = IA nên AG = 2/3 AD.
Chú ý : Như vậy ta đã chứng minh được đường trung tuyến BE cắt đường trung tuyến AD tại
điểm G có AG = 2/3 AD . Chứng minh tương tự, nếu kẻ đường trung tuyến CF thì đường trung
tuyến CF cắt đường trung tuyến AD tại điểm G ‘ có AG’ = 2/3 AD, tức là G ‘ trùng với G.
Điều đó chứng tỏ rằng : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Dễ
dàng chứng minh được điểm đó cách mỗi đỉnh của tam giác một khoảng bằng 2/3 đường trung
đi qua đỉnh ấy.
Bài 38
(h. 55)
a) Tam giác AMC = tam giác DMB (c.g.c), suy ra
AC = BD và góc C = góc MBD.
Hai góc so le trong C và MBD bằng nhau nên AC // BD. Suy ra
góc BAC + góc ABD = 180°
(góc trong cùng phía).
Ta đã có góc BAC = 90° nên góc BAD = 90°.
b) Tam giác ABC và tam giác BAD có :
AB : cạnh chung
góc BAC = góc ABD = 90°
AC = BD (chứng minh trên).
Do đó tam giác ABC = tam giác BAD (c.g.c).
c) Từ câu b) suy ra BC = AD.
Ta lại có AM = 1/2 ẠD nên AM = 1/2 BC .
Chú ý : Từ bài toán trên ta suy ra : Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền bằng nửa cạnh huyền.
Bài 39.
(h. 56)
Ta có AM = 1/2 BC, BM = MC nên:
AM = BM = MC.
Tam giác AMB có AM = BM nên là tam giác cân, suy ra
góc B = góc A1. (1)
Tam giác AMC có AM = MC nên là tam giác cân, suy ra
góc C = góc A2. (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
góc B + góc C = góc A1 + góc A2 = góc BAC.
Ta lại có góc B+ góc C + góc BAC = 180° (tổng ba góc của tam giác ABC)
nên góc B + góc C = góc BAC = 90°. Vậy BÂC = 90°
Chú ý. Từ bài toán trên ta suy ra : Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh
bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
BÀI TẬP BỔ SUNG:
Bài 4.1.
Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi
qua đỉnh đó nên E là trọng tâm của tam giác ABC.
Chọn (B).
Bài 4.2
Do ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại trọng tâm của tam giác và trọng tâm
cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên (B) sai (vì
FG/CG = 1/2 ). Chọn (B).
Bài 4.3.
(h.bs.12)
Gọi O là giao điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Xét hai tam giác ACD và BCD.
Từ giả thiết suy ra I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và tam giác BCD.
Do đó OI = 1/3 AO, AI = 2/3 AO, OJ = 1/3 BO, BJ = 2/3BO.
Theo giả thiết AO = BO nên:
IJ = OI + OJ = 2/3 AO = AI = BJ.
Bài 4.4.
(h.bs.13)
SAOB = 2/3 SAOB ( vì OA = 2/3 AA1)
SABA1 = SABC (vì BA1 = 1/2BC).
Từ đó suy ra SABC = 2SABA1 = 3SAOB
Nếu SAOB = 5cm2 thì SABC = 3.5 = 15 (cm2).
Bài 4.5.
Xét sáu tam giác được đánh số là : 1, 2, 3, 4, 5, 6 (h. bs.14).
Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài 4.4 ta có
Ta lại có
Sj = s2, s3 = s4, s5 = s6 (vì mỗi cặp tam giác có chung đường cao và hai đáy bằng nhau, -vậy sáu tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau).
Bài 4.6
(h.bs.15)
Do AD = DE nên MD là một đường trung tuyến của tam giác AEM. Hơn nữa, do
CD = 1/2 CB = 1/2 CM
nên C là trọng tâm của tam giác AEM.
Các đường thẳng AC, EC lần lượt cắt EM, AM tại F, I. Tam giác AEM có các đường trung tuyến là AF, EI, MD. Ta có tam giác ADB = tam giác EDC (c.g.c) nên AB = EC.
Vậy : AC = 2/3 AF ; BC = CM = 2/3 MD ; AB = EC = 2/3EI.
Trước tiên, theo giả thiết, ta có AD = DE nên AD = 1/2 AE.
Gọi BP, CQ là các trung tuyến của tam giác ABC.
Tam giác BCP = tam giác MCF (c.g.c)
=> BP = FM = 1/2 EM. Ta sẽ chứng minh CQ = 1/2 AM.
Ta có
Tam giác ABD = tam giác ECD => góc BAD = góc CED
=> AB//EC => góc QAC = góc ICA.
Hai tam giác ACQ và CAI có :
cạnh AC chung,
QAC = ICA,
AQ = 1/2 AB = 1/2 EC = IC nên chúng bằng nhau.
Vậy CQ = AI = 1/2 AM.
Tóm lại: AD = 1/2 AE; BP = 1/2 EM và CQ = 1/2 AM.
Trackbacks