Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu – Bài tập sách giáo khoa Toán 7 tập II
ĐỀ BÀI:
Bài 8.
Cho hình 11, biết rằng AB < AC. Trong các kết luận sau kết luận nào đúng ? Tại sao?
a) HB = HC
b) HB > HC
c) HB < HC
Bài 9.
Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C..(hình 12)
Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không ( ngày hôm sau có bơi xa hơn ngày hôm trước hay không? Vì sao?
Bài 10.
Chứng minh rằng trong một tam giác cân, độ dài đoạn thẳng nối đỉnh đối diện với đáy và một điểm bất kỳ của cạnh đáy nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của cạnh bên.
Bài 11.
Một cách chứng minh khác của định lí 2:
Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng:
Nếu BC < BD thì AC < AD
Hướng dẫn:
a) Góc ACD là góc gì? Tại sao?
b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Bài 12.
Cho hình 14. Ta gọi độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song a và b.
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó.
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không?
Bài 13.
Cho hình dưới đây. Hãy chứng minh rằng:
a) BE < BC;
b) DE < BC.
Bài 14.
Đố: Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6 cm.
Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy?
Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao?
Xem thêm: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác – Tại đây.
LỜI GIẢI, HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:
Bài 8.
Hướng dẫn:
Để so sánh hai hình chiếu ta làm như sau:
– Tìm hai đường xiên tương ứng với hai hình chiếu đó.
– Đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu của nó lớn hơn. Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau.
Giải:
Ta có AH ⊥ BC nên HB và HC lần lượt là hình chiếu của AB và AC lên BC.
Vì AB < AC nên HB < HC (đường xiên nhỏ thì hình chiếu nhỏ).
Vậy câu c) đúng.
Bài 9.
MA là đường vuông góc kẻ từ M xuống đường thẳng d.
Các đoạn thẳng AB, AC, AD lần lượt là hình chiếu vuông góc của MB, MC, MD lên d.
Ta thấy AB < AC < AD.
Nên MB < MC < MD (hình chiếu nào lớn hơn thì đường xiên lớn hơn).
Vậy MA < MB < MC < MD
Trả lời: Bạn Nam tập bơi đúng mục đích đề ra.
Bài 10.
Xét ∆ABC cân tại A, lấy M là điểm bất kì của đáy BC.
Ta chứng minh: AM < AB.
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC thì HB và HC lần lượt là hình chiếu của AB
và AC lên BC.
– Nếu M ≡ B thì AM = AB
– Nếu M ≡ C thì AM = AC
Nếu M ≡ H thì AM – AH < AB (đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên).
– Nếu M nằm giữa B và H thì HM < HB suy ra AM < AB (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn).
– Nếu M nằm giữa c và H thì HM < HC suy ra AM < AC (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn).
Bài 11.
BC < BD nên C nằm giữa B và D.
ACD là góc ngoài của ∆ACB
Nên góc ACD > góc ABC
Suy ra góc ACD > 90° (ABC = 90°)
∆ACD có ACD > 90° là góc lớn nhất (tổng ba góc trong tam giác bằng 180°).
Nên cạnh AD lớn nhất (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn)
Vậy AC < AD.
Bài 12.
Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ, vì chiều rộng của tấm gỗ là đoạn vuông góc giữa hai cạnh này.
Cách đặt thước như trong hình 15 (SGK) là sai: vì ở hình này ta đã đo “đoạn xiên” mà không phải đo đoạn vuông góc (đoạn vuông góc luôn ngắn hơn mọi “đoạn xiên” kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng).
Bài 13.
Hướng dẫn:
Cách 1:
– Tìm hai hình chiếu của hai cạnh.
– So sánh hai hình chiếu từ đó so sánh hai cạnh.
Cách 2:
– Xét hai cạnh cần so sánh là hai cạnh của một tam giác.
– So sánh hai góc đối diện của hai cạnh từ đó so sánh hai cạnh.
Giải:
Cách 1:
a) Ta có AB ⊥ AC nên AE và AC lần lượt là hình chiếu vuông góc của BE và BC lên AC.
Ta thấy AE < AC suy ra BE < BC (1)
(hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn).
b) Ta có AC ⊥ AB nên AD và AB lần lượt là hình chiếu của ED và EB lên AB.
Ta thấy AD < AB suy ra ED < EB (2) (hình chiếu nhỏ hơn thì đường xiên nhỏ hơn).
Từ (1) và (2) suy ra ED < BC.
Cách 2:
a) ∆ABE có góc BEC = góc A + góc ABE (tính chất góc ngoài của tam giác)
Nên BÊC > Â = 90°
Do đó ∆BEC có góc C < 90° (tam giác không thể có hai góc tù)
suy ra góc BEC > góc C
=> BC > BE (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn) (1)
∆ADE có góc BDE = góc A + góc AED (tính chất góc ngoài của tam giác)
Nên góc BDE > góc A = 90°.
Do đó ∆BDE có góc B < 90°. (tam giác không thể có hai góc tù)
Suy ra góc BDE > góc B => BE > DE (2)
Từ (1) và (2) suy ra ED < BC.
Bài 14.
Hướng dẫn:
Kẻ PH ⊥ QR
Có hai điểm M: một điểm nằm giữa H và R, một điểm nằm giữa H và Q,
Giải:
Kẻ PH ⊥ QR thì HM và HR lần lượt là hình chiếu của PM và PR.
Vì PR > PH (5 > 3) nên tồn tại một điểm M thuộc tia HR sao cho PM = 4,5cm.
Ta có PM < PR (4,5 < 5) suy ra HM < HR (đường xiên nhỏ thì hình chiếu nhỏ).
Do đó M nằm giữa H và R.
Tương tự, có điểm M’ nằm giữa H và Q mà PM’ = 4,5cm.
Vậy có hai điểm M và M’ nằm trên cạnh QR.
Để PM = PM’ = 4,5cm.
Trackbacks