Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác – Bài tập sách giáo khoa Toán 7 tập II
ĐỀ BÀI:
Bài 15.
Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong các trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế:
a) 2cm, 3cm, 6cm
b) 2cm, 4cm, 6cm
c) 3cm, 4cm, 6cm
Bài 16.
Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = 1cm, AC = 7cm.
Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
Bài 17.
Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC.
a) So sánh MA với MI + IA, từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA.
b) So sánh IB với IC + CB, từ đó chứng minh IB + IA < CA + CB.
c) Chứng minh bất đẳng thức MA + MB < CA + CB.
Bài 18.
Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:
a) 2cm; 3cm; 4cm
b) 1cm; 2cm; 3,5cm
c) 2,2cm; 2cm; 4,2cm
Hãy vẽ tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là một trong các bộ ba ở trên (nếu vẽ được). Trong trường hợp không vẽ được hãy giải thích.
Bài 19.
Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3,9cm và 7,9cm.
Bài 20.
Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:
Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H thuộc BC).
a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở Bài 1 để chứng minh AB + AC > BC.
b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.
Bài 21.
Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B (h.19).
Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dụng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.
Bài 22.
Ba thành phố A, B, C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng: AC = 30km, AB = 90km (h.20).
a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km?
Xem thêm: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
LỜI GIẢI, HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:
Bài 15.
Hướng dẫn:
Nếu ba số’ a, b, c với a > b > c thỏa mãn a < b + c thì ba số a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
Giải:
a) Bộ ba đoạn thẳng này không thể là ba cạnh của một tam giác vì 2 + 3 < 6.
b) Bộ ba đoạn thẳng này không thể là ba cạnh của một tam giác vì 2 + 4 = 6.
c) Bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác vì 3 + 4 > 6
(độ dài đoạn lớn nhất nhỏ hơn tổng độ dài của hai đoạn kia).
Cách dựng tam giác có độ dài ba cạnh bằng 3; 4; 6:
– Dựng đoạn thẳng BC dài 6cm.
– Dựng cung tròn tâm B bán kính 3cm và cung tròn tâm C bán kính 4cm, chúng cắt nhau tại điểm A.
– Vẽ đoạn thẳng AB và AC, ta được ∆AEC có ba cạnh bằng 3; 4; 6.
Bài 16.
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
Trong tam giác có ba cạnh với độ dài a, b, c luôn có:
| b — c | < a < b + c
Giải:
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
AC – BC < AB < AC + BC
7 – 1 < AB < 7+1 6 < AB < 8
Vì độ dài AB là một số nguyên (cm) nên AB = 7cm.
∆ABC có AB = AC nên là tam giác cân tại A.
Bài 17.
Hướng dẫn:
Sử dụng bất đẳng thức trong trong tam giác có độ dài ba là a, b, c luôn có a < b + c.
Chú ý: áp dụng các phép biến tương đương:
a < b => a + c < b + c < a < b
a < b và c < d => a + c<b + d
Giải:
a) ∆ MAI có MA < MI + IA (quan hệ giữa ba cạnh).
Cộng thêm MB vào hai vế, ta được:
MA + MB < MI + IA + MB
Suy ra MA + MB < IB + IA. (1)
b) ∆IBC có IB < IC + CB (quan hệ giữa ba cạnh) V
Cộng thêm IA vào hai vế, ta được: ‘
IB + IA < IC + CB + IA
Suy ra IB + IA < CA + CB. (2)
c) Từ (1) và (2) suy ra MA + MB < CA + CB.
Bài 18.
a) Vẽ tam giác có độ dài cạnh là 2cm, 3cm, 4cm:
– Vẽ đoạn thẳng BC = 4cm.
– Vẽ cung tâm B bán kính 2cm và cung tâm c bán kính 3cm, chúng cắt nhau ở A.
– Vẽ AB, AC ta được ∆ABC có độ dài ba cạnh là 2cm, 3cm, 4cm.
b) Ta thấy 1 + 2 < 3,5 nên không tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh là 1cm, 2cm, 3,5cm.
c) Ta thấy 2,2 + .2 = 4,2 nên không tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh là 2,2cm; 2cm; 4,2cm.
Bài 19.
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất:
Nếu ba số a, b, c thoả mãn a + b < c thì ba số đó không thể là ba cạnh của một tam giác.
Để loại trưòng hợp tam giác có hai cạnh bằng 3,9cm.
Giải
Tam giác cân nên cạnh thứ ba của tam giác bằng một trong hai cạnh kia.
Trường hợp cạnh thứ ba bằng 3,9em không xảy ra vì 3,9 + 3,9 < 7,9 (tổng hai cạnh nhỏ hơn cạnh thứ ba).
Do đó cạnh thứ ba bằng 7,9cm
Thật vậy: 7,9 < 7,9 + 3,9.
Chu vi cửa tam giác bằng:
7,9 + 7,9 + 3,9 = 19,7 (cm)
Đáp số: 19,7cm.
Bài 20.
a) Nhận xét: Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất, nên cạnh đối diện với góc vuông là cạnh lớn nhất.
Ta có AH ⊥ BC nên góc AHB = 90°
Suy ra tam giác vuông AHB có:
AB > BH Tương tự: AC > HC. Do đó: AB + AC > HB + HC => AB + AC > BC.
∆ABC có BC là cạnh lớn nhất nên BC > AC => BC + AB > AC Tương tự: BC + AC > AB.
Bài 21.
Gọi d là bờ sông gần khu dân cư, C là giao điểm của d và đoạn thẳng AB.
Gọi M là điểm bất kì thuộc d.
Ta chứng minh khi M trùng với c thì độ dài AB là ngắn nhất.
Giải:
Gọi d là bờ sống gần khu dân cư.
C là giao điểm của d và đoạn thẳng AB.
Gọi M là điểm bất kì thuộc d.
Nếu M không trùng với c thì:
∆MAB có MA + MB > AB (1)
Nếu M trùng với c thì:
MA + MB = CA + CB
MA + MB = AB (2)
Từ (1) và (2) ta thấy điểm M ở vị trí c thì độ dài AB là ngắn nhất.
Vậy địa điểm C để dựng cột điện là giao điểm của AB và bờ sông thì độ dài đường dây là ngắn nhất.
Bài 22.
Hướng dẫn:
Xét khoảng cách BC bằng cách áp dụng bất đẳng thức trong tam giác: | b — c | < a < b + c.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác, ta có:
AB – AC < BC < AB + AC
90 – 30 < BC < 90 + 30
60 < BC < 120
Như vậy:
a) Nếu máy phát sóng ở C có bán kính hoạt động bằng 60km thì ở B không nhận được tín hiệu vì BC > 60km.
b) Nếu máy phát sóng ở C có bán kính hoạt động bằng 120km thì ở B nhận được tín hiệu vì BC < 120km.
Trackbacks