Phương trình đường thẳng – Các kiến thức cơ bản – Sách bài tập hình học 12

Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng – Hình học 12.

I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC

1. Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x0 ; y0; z0) và nhận vectơ = (a1; a2; a3) với  ≠  làm vectơ chỉ phương Δ có phương trình tham số là:

2. Nếu a1; a2 ; a3 đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng Δ dưới dạng chính tắc như sau :

 II. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, TRÙNG NHAU, CẮT NHAU HOẶC CHÉO NHAU

Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua hai điểm M0(x0 ; y0 ; z0) , M’0(x’0 ; y’0 ; z’0) và có vectơ chỉ phương lần lượt là = (a1, a₂; a₃), = (a’1, a’₂; a’₃).

1. Đặt  =  ∧  ta có các điều kiện sau :

2. Xét hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

Khi đó:

a) Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình (1) có đúng một nghiệm.

b) Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi và   không cùng phương và hệ phương trình (1) vô nghiệm.

Xem thêm:  Các dạng toán cơ bản  về phương trình đường thẳng  

III. ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU HOẶC VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0)  và có vectơ chỉ phương là = (a1, a₂; a₃) và cho mặt phẳng (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0. Gọi =(A;B;C) là vectơ pháp tuyến của (α). Ta có các điều kiện sau  :

IV. TÍNH KHOẢNG CÁCH

1. Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta thực hiện các bước :

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa M và vuông góc với Δ ;

– Tìm giao điểm H của Δ với (α) ;

– Khoảng cách từ M đến Δ chính là khoảng cách giữa hai điểm M và H : d(M, Δ) =MH (h.3.10).

2. Để tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (α) song song với Δ ta thực hiện các bước :

– Lấy một điểm M0(x0 ; y0 ; z0) tuỳ ý trên Δ;

– Khoảng cách giữa Δ và (α) chính là khoảng cách từ điểm M₀ đến ( α) :

d( Δ,(a)) =d(M₀, (α)) (h.3.11).

3. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ’ ta thực hiện các bước :

– Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với đường thẳng Δ’ ;

– Lấy một điểm M’0(x’0 ; y’0 ; z’0) tuỳ ý trên Δ’ ;

– Khoảng cách giữa Δ và Δ’ chính là khoảng cách từ điểm M0 đến (α) :

d( Δ, Δ’) = d(M0, (α)) (h.3.12).