Phương trình đường thẳng – Các dạng toán cơ bản – Sách bài tập hình học 12

Kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng – Hình học 12.

Các dạng toán cơ bản  về phương trình đường thẳng  

VẤN ĐỀ 1.

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ

1. Phương pháp giải

Bước 1 : Xác định một điểm cố định M₀(x₀; y₀; z₀) thuộc Δ.

Bước 2 : Xác định một vectơ chỉ phương (a1; a2; a3) của Δ.

Bước 3 : Phương trình tham số và phương trình chính tắc của Δ lần lượt có dạng

2. Ví dụ:

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua hai điểm A( 1 ; 2 ; 3), 5(3 ; 5 ; 7).

Giải

VẤN ĐỀ 2:

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Δ và Δ’ trong không gian

Bước 2 : Xác định một vectơ chỉ phương (a1; a2; a3) của Δ.

1. Phương pháp giải

Bước 1 : Xác định điểm cố định M₀(x₀; y₀; z₀) và vectơ chỉ phương (a1; a2; a3)  của Δ . Xác định điểm cố định M’₀(x’₀; y’₀; z’₀) và vectơ chỉ phương (a’1; a’2; a’3)  của Δ’ (h.3.13).

Bước 2 : Tính   =  ∧ .

Bước 3: Dùng các dấu hiệu sau để xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ’:

 

2.Ví dụ

Ví dụ 1.

Xét vị trí tương đối của đường thẳng

với các đường thẳng sau

Giải:

Ta có đường thẳng Δ đi qua điểm M0 (1 ; -1 ; 5) và có vectơ chỉ phương  = (2 ; 3 ; 1).

 a) d1 đi qua điểm M1( 3; 2; 6) và có vectơ chỉ phương  = (2; 3 ; 1)

Ví dụ 2. Cho đường thẳng:

a) Hãy xét vị trí tương đối giữa d và d’.

b) Tìm giao điểm nếu có của d và d’.

Giải:

Các giá trị của t, t’ này thoả mãn (3). Do đó hệ phương trình (I) có một nghiệm.

Vậy d cắt d’

b) Thay t = 0 vào pt tham số của d’ ta được giao điểm là M( 3; 0 ; -1).

VẤN ĐỀ 3:

Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0; y0; z0)  có vectơ chỉ phương (a1; a₂; a3) và cho mặt phẳng (α) có phương trình tổng quát

          Ax + By + Cz + D = 0.

Gọi (A ; B ; C) là vectơ pháp tuyến của (α). Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) ta có các cách sau :

Cách 1. Xét tích vô hướng . và thay toạ độ của điểm M0 vào phương trình của (α) để kiểm tra, ta có các trường hợp sau.

Cách 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d :

Thay x,y,z ở phương trình tham số trên vào phương trình tổng quát của mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 ta được

Xét số nghiệm t của phương trình (1) ta có các trường hợp sau.

Trường hợp 1 : (1) vô nghiệm

<=> d. song song với (α).

Trường hợp 2 (1) có một nghiệm t = t0.

<=> d cắt (α) tại điểm M₀(x₀ + t₀a1 ; y₀ + t₀a2 ; z₀ +t₀a3 )

Trường hợp 3 : (1) có vô số nghiệm

<=> d nằm trong (α)

Trường hợp 4 : (A; B ; C) = k(a1 ; a₂; a₃)

<=> d vuông góc với (α).

2. Ví dụ

Mẩu 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ

(a1): x + y + z + 2 = 0 ;

(a₂): 4x + 8y + 2z – 7 = 0 ;

(a₃) : x – y + 2z + 5 = 0 ;

(a₄): 2x – 2y + 4z – 10 = 0.

Giải

Đường thẳng Δ đi qua điểm M₀( 1 ; 2 ; 3) và có vectơ chỉ phương = (2 ; 4 ; 1). Các mặt phẳng (α1), (α₂), (α3), (α4) có vectơ pháp tuyến lần lượt là

= (! ; 1; 1), = (4 ; 8 ; 2), = (1; -1 ; 2), = (2 ; -2 ; 4).

Ta có :

Vậy đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α₄).

 Ví dụ 2.

và mặt phẳng (α): x + 2y + z – 1= 0.

Chứng minh rằng d cắt (à) và tìm toạ độ giao điểm.

Giải

Thay x, y, z ở phương trình trên vào phương trình tổng quát của (α) ta được :

(1 + 21) + 2(-l + t) + (-t) – 1 = 0        (1)

<=>3t = 2<=> t = 2/3.

Phương trình (1) có một nghiệm t0 = 2/3, vậy d cắt (α) tại điểm

VẤN ĐỀ 4:

1. Phương pháp giải

Tính khoảng cách

Loại 1. Khoảng cách từ điểm A(xA; yA; zA) đến đường thẳng Δ :

            

Cách 1

Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A và vuông góc với Δ

Tìm giao điểm H của A và (α)

Tính d(A,Δ) =AH  .

Cách 2

Loại 2. Khoảng cách giữa đường thẳng  

      

và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 song song với Δ

Loại 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

                           

Cách 1

Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng Δ và song song với Δ’ ta được (α) :

            Ax + By + Cz + D = 0.

* Lấy điểm M’0(x’0 ; y’0 ; z’0) thuộc Δ’ .

 

Cách 2

Xác định điểm M0 ∈ Δ  và điểm M’ ∈ Δ’.

Xác định hai vectơ và là hai vectơ chỉ phương của Δ và Δ’.

 

 2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ điểm A(1; 2 ; 1) đến đường thẳng Δ:

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với Δ.

Ta có :  =  = (1; 2 ; -2)

Vậy pt của (α) là 1(x-1) + 2(y-2) -2(z-1) =0 hay x + 2y – 2z -3 = 0.

Vậy (α) cắt Δ tại điểm:

Cách 2:

Δ đi qua M0( -2 ; 1 ; -1) và có vectơ chỉ phương =( 1; 2 ; -2)

Ví dụ 2. Cho mp (α) : 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng Δ :

              

a) Hãy chứng tỏ Δ song song với (α).

b) Tính khoảng cách giữa Δ và (α).

Giải:

a) Ta có :   = ( 3 ; -2 ; -1)

                   

 Δ đi qua điểm M0 ( 1; 7; 3)

Ta có : .  = 6 – 2 -4 =0 và Mo ∉ (α).