Phương pháp tính ngược từ cuối – Giải toán tiểu học
Có một số bài toán mà ta có thể tìm số chưa biết bằng cách thực hiện liên tiếp các phép tính đã cho trong bài toán. Khi giải bài toán theo phương pháp này thì kết quả của một phép tính sẽ trở thành một phần đã biết trong phép tính liền sau đó, cứ tiếp tục như thế cho đến khi tìm được số phải tìm. Ta nói rằng bài toán được giải theo phương pháp tính ngược từ cuối.
Ví dụ 1:
Tìm một số biết rằng số đó lần lượt cộng với 1 rồi nhân với 2, được bao nhiêu đem chia cho 3 rồi trừ đi 4 thì được 5.
Phân tích: Ta hình dung như sau:
-Nếu số phải tìm chỉ cộng với 1; nhân với 2, chia cho 3 mà không trừ đi 4 thì kết quả là bao nhiêu?
| (5 + 4) |
– Nếu số phải tìm cộng với 1, nhân với 2 mà không chia cho 3 thì kết quả là bao nhiêu?
| ((5+4) x 3). |
-Nếu số phải tìm chỉ cộng với 1 mà không nhân với 2 thì có kết quả là bao nhiêu?
| ((5+4) x 3 : 2). |
-Nếu số phải tìm không cộng với 1 thì có kết quả là bao nhiêu?
| ((5+4) x 3 : 2 – 1) |
| Giải |
Trước khi trừ 4, ta có:
| 5 + 4 = 9 |
Trước khi chia cho 3, ta có:
| 9 x 3 = 27 |
Trước khi cộng 1, ta có:
| 27 : 2 = 13,5 |
Vậy số phải tìm là:
| 13,5 – 1 = 12,5 |
Bài toán này có thể được giải theo cách sau đây:
Gọi x là số phải tìm, theo đầu bài ta có:
| (x + 1) × 2 : 3 – 4 = 5 |
Coi (x + 1) x 2 : 3 là số bị trừ thì ta có:
| (x + 1) × 2 : 3 = 5 + 4 = 9 |
Coi (x + 1) x 2 là số bị trừ thì ta có:
| (x + 1) × 2 = 9 x 3 = 27 |
Coi x + 1 là số nhân thì ta có:
| X + 1 = 27 : 2 = 13,5 |
Coi x là số hạng của tổng thì ta có:
| X – 13,5 – 1 = 12,5. |
| Vậy số phải tìm là : 12,5. |
Còn có thể ứng dụng graph để giải bài toán này.
Ví dụ 2:
Hằng có một số tem thư, Hằng đã cho bạn 1/2 số tem đó và thêm 1 cái nữa thì còn lại 9 cái. Hỏi lúc đầu Hằng có bao nhiêu tem thư?
Phân tích: Ta có thể hiểu bài toán này như sau: Tìm một số biết rằng số đó chia cho 2 rồi trừ 1 thì còn 9.
Nếu số phải tìm chỉ chia cho 2 mà không trừ đi 1 thì có kết quả là bao nhiêu?
Nếu số phải tìm không chia hết cho 2 thì kết quả là bao nhiêu?
| Giải |
Nếu không cho thêm một cái nữa thì số tem thư còn lại là:
| 9 + 1 = 10 (cái) |
Số 10 chính là 1/2 số tem, do đó số tem lúc đầu là:
| 10 x 2 = 20 (cái) |
Vậy lúc đầu Hằng có 20 tem thư.
Tương tự như ở ví dụ 1, có thể giải bài toán này theo cách sau đây:
| x : 2 – 1 = 9
x : 2 = 9 + 1 = 10 (tìm một số hạng trong tổng) x = 10 × 2 = 20 (tìm số bị chia) |
Ví dụ 3: (toán cổ)
Một người bán một số cam như sau: lần đầu bán 1/2 tổng số cam và thêm 1 quả, lần thứ hai bán 1/2 số cam còn lại và thêm 1 quả, lần thứ ba bán 1/2 số cam còn lại sau lần thứ hai và thêm 1 quả, cuối cùng còn lại 10 quả. Hỏi người đó có tất cả bao nhiêu quả cam.
Phân tích: Ta có thể hiểu bào toán này như sau: Tìm một số biết rằng lần lượt lấy số đó chia cho 2 rồi trừ đi 1, được bao nhiêu lại chia cho 2 rồi trừ đi 1, cuối cùng lại chia cho 2 rồi trừ đi 1 thì còn lại 1 quả.
Khi giải bài toán này ta thực hiện các phép toán từ cuối lên theo trình tự sau đây:
| (10 + 1) x 2 = 22
(22 + 1) x 2 = 46 (46 + 1) x 2 = 94. |
Bây giờ ta phân tích bài toán đã cho để tìm cách giải.
a.Tìm số cam còn lại sau khi bán lần thứ hai.
Lần thứ ba nếu chỉ bán 1/2 số cam còn lại sai hai lần bán mà không thêm 1 quả thì số cam còn lại cuối cùng sẽ là:
| 10 + 1 = 11 (quả) |
Số 11 chính là 1/2 số cam còn lại sau 2 lần bán. Do đó số cam còn lại sau 2 lần bán là:
| 11 x 2 = 22 (quả) |
b.Tìm số cam còn lại sau hai lần bán thứ nhất
Lần thứ hai nếu chỉ bán 1/2 số cam còn lại sau lần bán thứ nhất mà không thêm 1 quả thì số cam còn lại sau lần bán thứ hai sẽ là:
| 22 + 1 = 23 (quả) |
Số 23 chính là 1/2 số cam còn lại sau lần bán thứ nhất. Do đó số cam còn lại sau lần bán thứ nhất sẽ là:
| 23 x 2 = 46 (quả) |
c.Tìm số cam trước lúc bán lần thứ nhất:
Lần thứ nhất nếu chỉ bán 1/2 tổng số cam mà không thêm 1 quả thì số cam còn lại sau lần bán thứ nhất sẽ là:
| 46 + 1 = 47 (quả) |
Số 47 chính là 1/2 tổng số cam lúc chưa bán. Do đó tổng số cam lúc chưa bán là:
| 47 x 2 = 94 (quả) |
Giải (xem hình 10)
1/2 số cam còn lại sau lần bán thứ hai là:
| 10 + 1 = 11 (quả) |
Do đó số cam còn lại sau lần bán thứ hai là:
| 11 x 2 = 22 (quả) |
1/2 Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là:
| 22 + 1 = 23 (quả) |
Do đó số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là:
| 23 x 2 = 46 (quả) |
1/2 số cam lúc chưa bán là:
| 46 + 1 = 47 (quả) |
Do đó tổng số cam là:
| 47 x 2 = 94 (quả) |
Lúc đầu người bán cam có tất cả 94 quả cam.
BÀI TẬP
74. Tìm số tự nhiên để khi nhân số đó với 12345679 thì được một số gồm toàn chữ số 9.
75. Tìm một số biết rằng số đó nhân với 4, được bao nhiêu đem cộng với 4 thì được kết quả là 7744.
76. Cho ba số có tổng bằng 45. Nếu chuyển 3 đơn vị từ số thứ ba sang số thứ hai và chuyển 2 đơn vị từ số thứ hai sang số thứ nhất thì được ba kết quả bằng nhau. Hãy tìm ba số đã cho.
77. Có 3 kho gạo với tổng số gạo là 210 tấn. Nếu chuyển 20 tấn gạo từ kho A sang kho B, rồi chuyển 50 tấn gạo từ kho B sang kho C thì số gạo ở kho C sẽ gấp đôi số gạo ở kho B, số gạo ở kho B sẽ gấp đôi số gạo ở kho A. Hãy tính xem lúc đầu ở mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?
78. Kiên và Hiển cùng chơi như sau: Nếu Kiên chuyển cho Hiển một số bi đúng bằng số bi mà Hiển đang có, rồi Hiển lại chuyển cho Kiên một số bi đúng bằng số bi còn lại của Kiên thì cuối cùng Hiển có 35 viên bi và Kiên có 30 viên bi. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
79. Có ba đội Thiếu niên A, B, C với tổng số đội viên khoảng 40 đến 50 bạn. Để chuẩn bị tham gia lao động, nhà trường dự định chia số đội viên bằng số đội viên đang có của đội B, rồi chuyển từ đội B sang đội C một số đội viên bằng số đội viên của đội C. Cuối cùng chuyển từ đội C sang đội A một số đội viên bằng số đội viên còn lại của đội A. Sau ba lần chuyển như vậy thì số đội viên ở ba đội sẽ bằng nhau. Hãy tính số đội viên ở mỗi đội Thiếu niên lúc chưa chuyển.
80. Nhà bạn Hải nuôi được một số th. Đợt một bán đi một phần ba số thỏ, đợt hai bán đi một phần ba số thỏ còn lại, đợt ba bán đi một phần ba số thỏ còn lại sau 2 đợt, cuối cùng còn lại 8 con thỏ. Hỏi nhà bạn Hải nuôi được bao nhiêu con thỏ?
81. (Toán cổ) Một người đem bán một số gà. Lần đầu bán 2 con gà, lần thứ hai bán ½ số gà còn lại và ½ con gà, lần thứ ba bán ½ số gà còn lại sau hai lần và ½ con gà, lần cuối cùng bán ½ số gà còn lại sau ba lần và ½ con gà vừa hết số gà đem bán. Hỏi người đó đã bán tất cả mấy con gà?
82. (Toán cổ) Người qua đường hỏi một cụ già đang cưỡi ngựa: “Làm sao mà trông cụ buồn phiền vậy?”. Cụ già đáp lại: “ Làm sao mà chẳng buồn phiền? Một nửa đàn ngựa của tôi và thêm một con nữa bị lạc xuống phía Nam, một nửa số ngựa còn lại sau hai lần đó và thêm một nửa con nữa chạy qua phía Tây,một nửa con ngựa còn lại cuối cùng và thêm một nửa con nữa tôi đã đem bán ở phía Bắc. Bây giờ tôi chỉ còn lại một con ngựa mà tôi đang cưỡi đây”. Hãy tính xem lúc đầu cụ già có tất cả bao nhiêu con ngựa?
83. (Toán cổ) Một tên tham lam gặp con quỷ ở cạnh chiếc cầu. Tên này than phiền với con quỷ về nỗi nghèo khổ của mình. Con quỷ nói rằng “Tôi có thể giúp anh. Cứ mỗi lần anh đi qua cầu thì số tiền của anh sẽ được tăng gấp đôi, nhưng ngay sau đó anh phải trả lại cho tôi 24 xu. Bằng lòng chứ?” Tên tham lam bằng lòng như thế. Sau khi hắn đi qua cầu lần thứ ba thì thấy trong túi của mình không còn một xu nào. Hỏi lúc đầu tên tham lam có bao nhiêu tiền?.
» Tải về file word TẠI ĐÂY.
» Xem hướng dẫn giải bài tập TẠI ĐÂY.
Xem thêm:
Trackbacks