Liên hệ giữa cung và dây – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Liên hệ giữa cung và dây Hình học 9

 

Kiến thức cần nhớ:

1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau :

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhạu.

Đảo lại, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

b) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

Đảo lại dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

2. Trong một đường tròn :

Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

Đảo lại đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau.

3. Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

Ví dụ 19

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của đoạn OB, ta kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song  với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM.

Chứng minh rằng :

 

b) Tứ giác OKME là hình chữ nhật;

c) KE//PN.

Giải

a) Đường kính AB vuông góc với dây MN tại E

b) Bán kính OI đi qua điểm chính giữa K của cung PM nên KP = KM

và OI ⊥ PM tại K. (3)

Theo đầu bài, MN ⊥ AB và MP // AB, suy ra MN ⊥ MP.             (4)

 

Vậy OKME là hình chữ nhật.

thẳng hằng, suy ra ba điểm P, O, N cũng thẳng hàng. Theo (1) và (3), KE là đường trung bình của tam giác PMN. Do đó KE // PN.

Ta cũng có thể chứng minh câu c) như sau:

Tứ giác PKEO là hình bình hành (PK // OE và PK = OE) nên OP // KE. Tương tự ta cũng có ON // KE. Suy ra P, O, N thẳng hàng và KE // PN.

 

BÀI TẬP

76. Cho hai đường tròn đồng tâm (O ; R) và (O ; r) với R > r. Từ một điểm P trên đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tia Px, Py không qua o cắt hai đường tròn theo thứ tự ở A, B, E và C, D, F. Biết rằng AB > CD.

a) Chứng minh rằng PA – BE.

b) So sánh các cung nhỏ PE và PF.

77. Cho hai đường tròn đồng tâm (O ; 2R) và (O ; R). p là một điểm ở ngoài đường tròn (O ; 2R). Vẽ đường tròn (P ; PO) cắt đường tròn (O ; 2R) ở c và D, cắt đường tròn (O ; R) ở E và F, OC và OD cắt đường tròn (O ; R) ở A và B. Chứng minh rằng :

a) CD//EF;

b) PA và PB là các tiếp tuyến của đường tròn (O ; R).

Cho đường tròn (O) và dây AB không qua O. Trên dây AB, lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE = EB. Các tia OC, OD, OE cắt đường tròn theo thứ tự ở M, N và P. Chứng minh rằng :

 

Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.