Hướng dẫn giải bài Tứ giác nội tiếp – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Bài tập Tứ giác nội tiếp Hình học 9

 

113.

Chú ý rằng hình f là hình thang cân và hình g là hình chữ nhật.

114.

Nối BP, BA, BR. Chứng minh rằng tứ giác PTRB nội tiếp.

115.

a) Chứng minh  = .

b) Có thể chứng minh  +  =  hoặc  +  = .

116.

 

Tứ giác ODCE nội tiếp nên  = .                            (1)

Tứ giác MDEN nội tiếp nên  = .                            (2)

Từ (1) và (2) suy ra  =  nên tứ giác HCEN nội tiếp (H là giao điểm của OC và MN), mà CE ⊥ OB nên CO ⊥ MN.

117.

Xét hai trường hợp :

a) Điểm C và hình vuông ABMN khác phía đối với AB.

+  = nên tứ giác ACBI nội tiếp.

   

b) Điểm C và hình vuông ABMN cùng phía đối với AB.

   

= =  nên A, B, I, C đều nằm trên đường tròn đường kính AB.

 =  => CI là tia phân giác của góc kề bù với ACB .

118.

Gọi I là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác EBC và CDF.

Tứ giác EBCI nội tiếp nên

= .               (1)

Tứ giác ICDF nội tiếp nên

= .                    (2)

Từ (1), (2) suy ra  = .

Do đó tứ giác ABIF nội tiếp.

Tương tự, ta cũng có tứ giác ADIE nội tiếp. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

119.

 

Dựng hình bình hành MDNK.

Chứng minh K thuộc đường tròn đi qua B, M, N.

Sau đó chứng minh B’, D, K thẳng hàng.

120.

121.

122.

Xét hai trường hợp :

a) A nằm giữa M và N.

 

b) A không nằm giữa M và N.

Gọi Ax là tia đối của tia AQ.

123.

ED là đường trung bình của tam giác ABC nên ED // AB, do đó ABDE là hình thang.

Ta lại có ABDE là tứ giác nội tiếp (vì  = ), nên ABDE là hình thang cân. Do đó tam giác ABC cân tại C,

AC = BC.

Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE.  Do = nên DE = R, do đó AB = 2DE = 2R. Từ đó chứng minh được =  (tức là ΔABC đều).

124.

 

Ta chứng minh cho trường hợp B, C nằm cùng phía đối với đường thẳng AD. Trường hợp còn lại dành cho bạn đọc.

Ta có  =  = ,  =  (cùng bù với  ) nên  = . Do đó ACEQ là tứ giác nội tiếp. Suy ra  =  .

Ta lại có  =  =  nên  = . Vậy QE // AD.

125.

Cách 1. Dựng hình bình hành AECD rồi chứng minh  = để suy ra tứ giác AFCD nội tiếp. Từ đó ta có  =  =  =  nên MN // AC.

 

126.

Đặt  =  =  = α. Gọi Mx là tia đối của tia MB. Vì ACMB là tứ giác nội tiếp nên  =  = α. Suy ra  = – 2α. Ta lại có  = 2α nên DMBO là tứ giác nội tiếp. Vì OD = OB nên MO là tia phân giác của góc DMB.

Ta có MC và MO là các tia phân giác của hai góc kề bù nên  = .

127.

Gọi tiếp điểm của đường tròn (O’) với đường tròn (O) là M, với AB và AC là I và K. Gọi N là giao điểm của MK với đường tròn (O). Ta chứng minh được cung AN = cung NC.

Kẻ tia phân giác của góc BMC cắt IK tại P. Hãy chứng minh tứ giác KPMC là tứ giác nội tiếp, sau đó chứng minh CP là tia phân giác của góc ACB, tương tự BP là tia phân giác của góc ABC.

128.

(h.a)

(h.b)

129.

 

 

 

130.

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

131.

Từ các tứ giác nội tiếp AEMO, OMFB suy ra  = .

Quỹ tích các điểm M là nửa đường tròn đường kính AB ở cùng nửa mặt phẳng với các tia Ax, By.

132.

Từ tứ giác nội tiếp OBAC suy ra  =  = .

Quỹ tích các điểm A của tam giác ABC là đoạn thẳng thuộc tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy và tạo với Oy một góc .

133.

Ta xét các trường hợp sau :

1) Điểm M nằm ngoài ΔABC và nằm trong góc ACB.

Từ điều kiện  =  (1), thấy ngay rằng M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và khi đó, điều kiện thứ hai  =  (2) cũng được thoả mãn. Như vậy trong trường hợp này quỹ tích các điểm M là toàn bộ cung AB.

2) Điểm M nằm ngoài ΔABC nhưng nằm trong góc BAC hay góc ABC.

Nếu M nằm trong góc BAC thì từ điều kiện (1) suy ra M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và từ điều kiện (2),  =  suy ra hai góc này đều vuông. Vậy các điểm phải tìm là đối xứng với A qua tâm O của đường tròn và đối xứng với B qua O. Dễ thấy rằng các điểm khác ngoài ΔABC không thoả mãn.

3) Điểm M nằm trong ΔABC.

 

Tóm lại, quỹ tích các điểm M phải tìm là cung nhỏ ẠB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, các điểm đối xứng với A và B qua tâm của đường tròn đó và trực tâm của tam giác ABC.

134.

 

Cách I.

– Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

– Dựng tia tiếp tuyến Az cùng phía với Ay đối với đường thẳng Ax.

– Trên Az lấy điểm M sao cho AM = m.

– Từ M kẻ đường thẳng song song với Ax, cắt Ay tại Q.

– Dựng đường tròn qua B, C, Q.

Đó là đường tròn phải dựng.

Cách 2. ΔABC ∼ ΔAQP (g.g)

 

Từ đó xác định được điểm Q thuộc tia Ay rồi dựng đường tròn đi qua B, C, Q.

135.

Cách 1. Dựa vào tứ giác nội tiếp APEQ suy ra =  =>  =  – .

Chỉ việc dựng tia Ax nằm giữa hai tia AB và AC, tạo với tia AB một góc – . Tia Ax cắt BC tại điểm E phải dựng.

Cách 2. Kẻ BD ⊥ AB, CD ⊥ AC. BC cắt AD tại điểm E phải dựng.