Hai mặt phẳng vuông góc – Giải bài tập sách giáo khoa Toán 11

Hai mặt phẳng vuông góc  

 

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Góc giữa hai mặt phẳng

       Định nghĩa

       Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

       Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng  

       Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ điểm I ∈ c, trong (P) vẽ a ⊥ c; trong (Q) vẽ b ⊥ c. Góc giữa a và b là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

       Diện tích hình chiếu của một đa giác

       Cho đa giác H thuộc mp (Q). Gọi đa giác H’ là hình chiếu của đa giác H lên mp (P) và φ là góc giữa mp (P) và mp (Q). Khi đó SH’ = SH cosφ

2. Hai mặt phẳng vuông góc

       Định nghĩa

       Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

       Định lí và hệ quả

– Định lí 1 (điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc)

       Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳmg này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phăng kia.

                            

– Hệ quả 1

       Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì đều vuông góc với (Q).

                          

– Hệ quả 2
        Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

                          

– Định lí 2

        Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

                           

– Chú ý:

       Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).

3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương

      Định nghĩa

– Hình lăng trụ đứng:

      Là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

– Hình lăng trụ đều:

      Là hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều.

– Hình hộp đứng:

      Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

– Hình hộp chữ nhật:

      Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chừ nhật.

– Hình lập phương:

      Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông.

4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

      Hình chóp đều

– Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đa giác đáy.

– Hình chóp đều có mặt bên là các tam giác cân và các cạnh bên bàng nhau.

– Hình chóp đều có các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

      Hình chóp cụ đều

      Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 trang 113 sách giáo khoa Hình học 11

a) Đúng;                                b) Sai.

Bài 2 trang 113 sách giáo khoa Hình học 11

Ta có: (α) ⊥ (β) và AC ⊥ ∆ nên AC ⊥ (β)

AD ⊂ (β) nên AC ⊥ AD hay tam giác ACD vuông tại A.

Chứng minh tương tự ta có: BD ⊥ ∆

=> BD ⊥ AB hay tam giác ABD vuông ở B.

Do đó:

Vậy CD = 26 (cm).

Bài 3 trang 113 sách giáo khoa Hình học 11

Vì AD ⊥ (ABC) nên AD ⊥ BC.

 

=> ABD là góc giữa mp ( ABC) và mp (BCD).b

b) Ta có: BC ⊥ (ABD) (theo câu a)

BC thuộc mp (BCD)

Suy ra (BCD) ⊥  (ABD).

c) BD ⊥ (AHK) tại H nên BD ⊥ AH và BD ⊥ HK.

Trong mp (BCD) ta có BC ⊥ BD và HK ⊥ BD.

Suy ra HK // BC.

Bài 4 trang 114 sách giáo khoa Hình học 11

     Gọi a là giao tuyến của (α) và (β). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với a.

Vì a ⊂ (α) và a ⊥ (P) nên (α) ⊥ (P).

Chứng minh tương tự ta có: (β) ⊥ (P).

Như vậy, qua điểm M không thuộc (a) và (β) có mặt phẳng (P) vuông góc với (α) và (β).

     Ngược lại, nếu có mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β) thì suy ra (P) ⊥ a.

     Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng a nên mặt phẳng (P) là duy nhất.

     Nếu (α) // (β), gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (α). Khi đó, ta có d ⊥ (β) và mọi mặt phẳng (P) chứa d đều vuông góc với (α) và (P).

     Vậy khi (α) // (β) thì có vô số mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với cả hai mặt phẳng (α) và (β).

Bài 5 trang 114 sách giáo khoa Hình học 11

a) Ta có:

BC // B’C’ mà AB’ ⊥ B’C’ nên AB’ ⊥ BC.

Hay AB’ ⊥ (BCD’A’).

Mặt phẳng (AB’C’D) chứa AB’ vuông góc với (BCD’A’) nên (AB’C’D) ⊥ (BCD’A’).         ^A‘

b)

Mà AC’ ⊂ (ABC’B’) nên AC’ ⊥ A’B. (1)

Tương tự A’D ⊥ (ABC’D’) => A’D ⊥ AC’. (2)

Từ (1 ) và (2) suy ra AC’ ⊥ (A’BD).

Bài 6 trang 114 sách giáo khoa Hình học 11

a) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Do đó, O là trung điểm của AC và BD. AC và BD là hai đường chéo của hình thoi ABCD nên AC ⊥ CD.  Tam giác SAG có SA = SC nên cân tại S. SO là trung tuyến nên đồng thời cùng là đường cao ứng với AC. Suy ra SO ⊥ AC.

Mà AC ⊂ (ABCD).

Suy ra (ABCD) ⊥ (SBD). 

b) Theo giả thiết ta có: SA = SB = SC = AB = BC = a.

=> ∆SAC, ∆BAC và ∆DAC là các tam giác cân và bằng nhau.

Do đó OS = OB = OD (cùng là đường trung tuyến ứng với cạnh AC).  

Ta có: SO = 1/2 BD. Vậy ASBD là tam giác vuông tại S.

Bài 7 trang 114 sách giáo khoa Hình học 11

a) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên ta có:

Mà AD ⊂ ‎(ADC’B’)                  _A

=> (ADC’B’) ⊥ (ABB’A’).

Tam giác ACC’ vuông tại C. Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

Tam giác ABC vuông tại B nên ta có:

 

Bài 8 trang 114 sách giáo khoa Hình học 11

Vận dụng kết quả câu b) bài 7.

Với trường hợp a = b = c ta có độ dài đường chéo hình lập phương là .

Bài 9 trang 114 sách giáo khoa Hình học 11

SH là đường cao của hình chóp đều S.ABC nên H là tâm của tam giác đều ABC. 

Suy ra AH ⊥ BC.

SH ⊥ (ABC) nên SH ⊥ BC.

 

Bài 10 trang 114 sách giáo khoa Hình học 11

a) O là tâm của hình vuông đáy ABCD của hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Do đó SO ⊥ (ABCD).

=> ∆SOA vuông tại O.

ABCD là hình vuông cạnh a nên độ dài đường chéo AC là .

Suy ra OA = OC = .

Xét tam giác vuông SOA, áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

b) ∆SBC là tam giác đều cạnh a nên BM ⊥ SC.            (1)

∆ SDC là tam giác đều cạnh a nên DM ⊥ SC .               (2)

Từ (1) và (2) suy ra SC ⊥(MBD).

Mà SC ⊂ (SAC) nên (SAC) ⊥ (MBD).

c) OM là đường trung tuyến của tam giác cân SOC nên OM cùng là đường cao ứng với cạnh SC.

Suy ra OM ⊥ SC hay ∆OMC vuông tại M.

 Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

BD là giao tuyến giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

MO ⊥ BD và CO ⊥ BD suy ra góc MOC là góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) là góc MOC và bằng .

Bài 11 trang 114 sách giáo khoa Hình học 11

a) Ta có: ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc.

SC ⊥ (ABCD), BD ⊂ (ABCD) nên SC ⊥ BD.

  

  Mà BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC).

ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = a

Góc A = nên ∆ABD, ∆BCD là hai tam giác đều.

SC ⊥ (ABCD) nên tam giác SCA vuông tại S.

Hai tam giác vuông AIKA và ASCA đồng dạng (g.g) 

 

Xét tam giác vuông SCA, theo định lí Pi-ta-go ta có:

 

 

c) ∆BCD là tam giác đều, I là trung điểm BD nên có:

 

Xét ∆BKD, có IK là trung tuyến ứng với cạnh BD và IK = IB = ID.

Suy ra ∆BKD là tam giác vuông tại K. Do đó góc BKD = .

=> SA ⊥ BK và SA ⊥ DK.

Mà SA là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAR) và (SAD).

Suy ra góc BKD là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) và góc đó bằng .