Khoảng cách
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng
Định nghĩa 1
Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P), kí hiệu là d(M, (P)) (hoặc trên đường thẳng ∆, kí hiệu là d(M, ∆)).
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
Định nghĩa 2
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α).
Kí hiệu là d(a, (α)).
Định nghĩa 3
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa
– Đường thẳng c cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng a và b gọi là đường vuông góc chung của a và b.
– Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b chính là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Nhận xét
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
– Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đã cho đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
– Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Cách xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
– Dựng mp (P) chứa b và song song với a.
– Từ một điểm M trên a, dựng đường thẳng vuông góc với (P), cắt (P) tại M’.
– Trong mp (P), từ M’ dựng đường thẳng a’ // a, cắt b tại B.
– Trong mp (a, a’), từ B dựng đường thẳng song song với MM’, cắt a tại A. AB là đường thẳng cần dựng.
Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
– a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a ⊥ b.
+ Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại điểm B.
+ Trong mp (α) dựng BA ⊥ a tại A.
+ Ta được đoạn AB. Độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
– a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau.
Cách 1:
+ Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b.
+ Lấy một điểm M bất kì trên b, dựng MM’ vuông góc (α) tại M .
+ Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A.
+ Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Cách 2:
+ Ta dựng mặt phẳng (α) ⊥ a tại O, (α) cắt b tại I.
+ Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’ trên (α).
+ Trong (α), vẽ OH⊥ b’,H ∈ b’.
+ Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.
+ Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.
+ Độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.
B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)
Bài 1 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai; e) Sai.
Bài 2 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
a) Gọi E là giao điểm của BC và AH. Khi đó AE ⊥ BC.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC.
Vậy ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy tại điểm E.
Mà SC ⊂ (SAC) suy ra BH ⊥ SC.
Mặt khác BK ⊥ SC nên SC ⊥ (BHK).
HK ⊂ (BHK) => SC ⊥ HK (1)
Từ (1) và (2) suy ra HK ⊥ (SBC).
c) Ta có: AE ⊥ BC và AE ⊥ SA.
Vậy AE là đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài 3 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
Gọi I là hình chiếu của B trên đường chéo AC’ của hình lập phương.
BCC’B’ là hình vuông cạnh a nên ta có độ dài đường chéo BC’ là 
Tam giác ABC’ là tam giác vuông tại B có BC’ =
Độ dài đường cao BI là khoảng cách từ B tới đường thẳng AC’.
Do đó:
Khoảng cách từ các điểm B,C , D, A’,B’ và D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau vì chúng đều là độ dài đường cao của các tam giác vuông bằng nhau (vì có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau và đều bằng a).
Bài 4 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
a) Trong mp (ABCD) kẻ BH vuông góc với AC tại H.
Khi đó độ dài đoạn BH’ chính là khoảng cách từ B tới mặt phẳng (ACC’A’). Xét tam giác vuông ABC, ta có:
b) Mặt phẳng (ACC’A’) chứa AC’ mà AC’ song song với BB’ nên khoảng cách giữa BB’ và AC’ chính là độ dài đoạn BH.
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mp (α) chứa b đồng thời song song với a.
Bài 5 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
a) Vì ABCD. A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có:
Mà B’D ⊂ (BB’D’D) nên A’C’ ⊥ B’D. (1)
Mặt khác:
B’D ⊂ (DCB’A’) => B’D ⊥ BC’. (2)
Từ (1) và (2) suy ra B’D ⊥ (A’BC’).
b) Hai mặt phẳng (A’BC’) và (ACD’) cùng vuông góc với B’D (tại G và H) nên chúng song song với nhau.
Khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn HG.
Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a.
Hai tam giác GO’B’ và D’DB’ đồng dạng với nhau (g.g) nên ta có:
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC’ và CD’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (BA’C’) và (ACD’) lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau đó. Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ là:
Bài 6 trang 119 sách giáo khoa Hình học 11
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Qua I kẻ đường thẳng d // CD, trên d lấy hai điểm E, F sao cho IE = IF = CD/2.
Theo giả thiết IJ ⊥ CD nên IJ ⊥ EF hơn nữa IJ ⊥ AB’
Suy ra IJ ⊥ (AEBF).
Tứ giác CDFE là hình bình hành (vì CD // EF, CD = EF), có IJ là đường trung bình.
Suy ra EC và DF cùng song song với IJ.
Mà IJ ⊥ (AEBF) nên EC và DF cùng vuông góc với mp (AEBF).
Do đó EC ⊥ IE và DF ⊥ AF.
Mặt khác tam giác BIE và tam giác AIF bằng nhau (c.g.c) nên AF = BE.
Vậy AD = BC.
Suy ra ∆CEB = ∆DFA.
Chứng minh tương tự có: BD = AC.
Bài 7 trang 120 sách giáo khoa Hình học 11
Gọi tâm của tam giác đều ABC là H. Khi đó độ dài đường cao SH của hình chóp tam giác đều S.ABC chính là khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABC).
Gọi giao điểm của BC và AH là I.
Xét tam giác đều ABC, H là tâm tam giác ABC nên H đồng thời là trực tâm.
SH ⊥ (ABC) nên SH ⊥ AH. Tam giác SAH vuông tại H, áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:
Như vậy SH = a.
Bài 8 trang 120 sách giáo khoa Hình học 11
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Vì là hai trung tuyến của hai tam giác ∆ABC và ∆ABD đều bằng nhau nên IC= ID.
=> ∆ICD cân tại I. ∆ICD có IK là trung tuyến nên IK cũng đồng thời là đường cao ứng với cạnh CD.
=> IK ⊥ CD.
Tương tự suy ra IK ⊥ AB.
Vậy khoảng cách giữa AB và CD (hai cạnh đối diện của tứ diện đều ABCD) là độ dài đoạn IK.
Tam giác ABD đều nên góc ABD = 
Tam giác vuông IBD tại I nên ta có:
Comments mới nhất