Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây Toán 9

 

Kiến thức cần nhớ:

       Định lí :

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.

          Hệ quả :

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Ví dụ 22.

Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn () cắt nhau ở C. Vẽ đường tròn () đi qua C tiếp xúc với đường thẳng AB ở B và cắt đường tròn () ở M. Chứng minh rằng đường thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau.

Giải. 

Gọi D là giao điểm thứ hai (khác M) của đường thẳng AM và đường tròn (). Nối D với B và C, nối B với M.

Đối với đường tròn (), ta có  =               (1) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung BM).

Tương tự, đối với đường tròn (),

ta có  = .              (2)

Từ (1) và (2) suy ra  = .

Do đó AC // BD.                  (3)

Cũng như trên, ta lại có  = . Trong (),  =  (hai góc nội

tiếp cùng chắn một cung).

Suy ra  = , do đó AB // CD.       (4)

Do (3) và (4), tứ giác BACD là hình bình hành nên đường chéo AD cắt đường

chéo BC tại trung điểm của BC, tức là đường thẳng AM chia đoạn BC thành hai

phần bằng nhau.

Ví dụ 23

Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; r), (R > r) tiếp xúc trong tại A. Dây BC của

(O ; R) tiếp xúc với (O’ ; r) tại M (ba điểm A, O, M không thẳng hàng). Chứng

minh rằng tia AM là tia phân giác của góc BAC.

Giải

Cách 1. 

Gọi E và F là các giao điểm của AB và AC với (O’). Nối E với F.

Kẻ tiếp tuyến chung Ax của hai đường tròn.

Đối với (O’) ta có =                (1)

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung AF).

Đối với (O), ta có  =                 (2).

Từ (1) và (2), suy ra  = , do đó EF // BC.

BC tiếp xúc với (O’) tại M nên EM = MF.

Vì vậy  =  hay tia AM là phân giác của góc .

Cách 2. 

Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A. Vì A, O, M không thẳng hàng nên tiếp tuyến này phải cắt đường thẳng BC. Gọi giao điểm của chúng là F.

Ta có FA = FM (hai tiếp tuyến của  (O’) cắt nhau tại F).

Tam giác AFM cân tại F nên =  +  .

Ta lại có  =  +  (góc ngoài ở đỉnh M của tam giác ABM).

Suy ra  +  =  + .

Nhưng đối với (O), ta có   = .

Vậy  =  và AM là tia phân

giác của góc BAC (trường hợp B nằm giữa c và F cũng chứng minh tương tự).

Cách 3. 

Tia AM cắt (O) ở N. Kẻ tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng BC ở p, cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở Q, Ta có PA = PM, QA = QN. Từ đó có  =  và  = .

Suy ra  =  nên BP // NQ.

Tiếp điểm N là điểm chính giữa của cung BC. Do đó AM là tia phân giác của

góc BAC.

Cách 4.  

Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau ở A nên O, O’ và A thẳng hàng. Tia AM cắt (O) ở N. Từ các tam giác cân AO’M và AON ta suy ra  =  ,  =  nên  = . Do đó O’M // ON.

Nhưng O’M ⊥ BC (BC tiếp xúc với (O’) ở M) nên ON ⊥ BC.

Suy ra BN = NC và tia AM là tia phân giác của góc BAC.

 

Ví dụ 24

Trên cạnh của một góc đã cho ta lấy một điểm A cố định. Xét tất cả các đường tròn tiếp xúc với cạnh này tại A và cắt cạnh kia tại hai điểm (B và C chẳng hạn).

Chứng minh rằng tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên một đường thẳng cố định.

Giải.  

Gọi D là đỉnh của góc đã cho. O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Ta có =                     (1) ;

=  (AO là tia phân giác của góc BAC)         (2).

Cách 1

Tia AO cắt BC tại E. Ta có  =  + $latex \widehat{EAC} $ (góc ngoài ở đỉnh E của tam giác AEC.      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  = . Do đó tam giác ADE cân tại D và DE = DA. Vậy E là một điểm cố định. Suy ra, tâm các đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng AE.

Cách 2

 

Như vậy góc OAD có số đo không đổi. Suy ra tâm của các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC nằm trên đường thẳng cố định đi qua A và tạo với đường thẳng

DA góc OAD bằng – (chính là đường thẳng AE trong cách 1).

 

BÀI TẬP

91. Chứng minh rằng các cặp góc trong các hình vẽ dưới đây bằng nhau

 

92. Trong hình, PT là tiếp tuyến ở p của đường tròn (O), BC và AP là các đường kính, Hãy tìm các số đo , , .           

93. Trong hình, Ax và Cy là các tiếp tuyến của (O). Hãy tìm số đo của .

94. Trong hình, AD và AB là hai tiếp tuyến của (O). Hãy tìm số đo của  và .

95. Trong hình, hãy tìm số đo các góc của các tam giác ADF, BDE, CEF.

96. Trong hình, AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’). Chứng minh rằng hai góc AMB và AKB bù nhau.

97. Trong hình, BA là tiếp tuyến, CD // BE, = . Hãy tìm số đo của góc ABC.

 

98. Cho đường tròn tâm O, đường kính EF. Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc trong với nửa đường tròn tâm o tại A. Kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt đường tròn tâm o tại B và tiếp xúc với đường tròn (O’) tại M. Chứng minh rằng tia AM đi qua một đầu của đường kính EF.

99. Cho tam.giác ABC nội tiếp đường tròn (). D là điểm chính giữa của cung BC. Một đường tròn thay đổi qua A và D cắt các đường thẳng AB, BD, AC theo thứ tự ở E, F và G. Chứng minh rằng :

a) D là điểm chính giữa của cung EG ;

b) Đường thẳng ẸF luôn song song với một đường thẳng cố định.

Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.