Giải toán Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài 26 (tr. 115 SGK) Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB=2cm,OA=4cm.
Hướng dẫn:
a) Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau chứng minh tam giác ABC cân từ đó suy ra OA ⊥ BC.
b) ΔBCD có OB = OC = OD => ΔBCD vuông tại B => BD // OA.
c) Dùng tính chất cạnh đối của góc 30° bằng 
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông OAB tính được AB = 2
Vậy AB = BC = CA = 2
Giải:
a) Ta có AB, AC là các tiếp tuyến =>AB =
Và 
=> ΔABC cân tại A và OA là phân giác.
=> OA ⊥ BC (tính chất của tam giác cân).
b) ΔBCD có OB = OC = OD (bán kính).
=> ΔBCD vuông tại B => BD ⊥ BC
=> BD // OA (cùng vuông góc với OA).
c) Tam giác vuông OBA có OB =
=>
Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác vuông OBA, ta được:
Vậy AB = BC = CA = 2
Bài 27 (tr. 115 SGK) Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn O, nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có các đoạn thẳng bằng nhau.
Chu vi tam giác: ADE = AD + DE + EA = 2AB.
Giải:
Ta có: AB, AC là hai tiếp tuyến => AB = AC. DB, DM là hai tiếp tuyến => DB = DM.
EC, EM là hai tiếp tuyến => EC = EM.
Chu vi tam giác ADE là:
P = AD + DE + ED = AD + DM + ME + EA
= AD + DB + EC + EA = AB + AC = 2AB (đpcm)
Bài 28 (tr. 116SGK) Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?
Hướng dẫn:
Từ tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra tâm của đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Giải:
Ta có Ax, Ay là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy.
=> OA là phân giác của góc xAy.
=> Tâm O của các đường tròn tiếp xúc vói hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc ấy.
Bài 29 (tr. 116 SGK) Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Hướng dẫn:
* Phân tích:
Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax, Ay nên tâm O nằm trên tia phân giác At của góc xAy.
Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax, Ay nên tâm O nằm trên đường thẳng d vuông góc với Ax tại B.
Vậy O là giao điểm của d vổi tia At.
Đường tròn (O) bán kính OB là đường tròn phải dựng.
Giải:
* Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường tròn (O) thoả mãn đề bài. Tâm O phải thoả mãn hai điều kiện:
Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax, Ay nên tâm O nằm trên tia phân giác At của góc xAy.
Đưòng tròn (O) tiếp xúc với Ax, Ay nên tâm O nằm trên đường thẳng d vuông góc với Ax tại B.
Vậy O là giao điểm của d với tia At.
Đường tròn (O) bán kính OB là đường tròn phải dựng.
* Cách dựng:
Dựng tia phân giác At của 
Dựng đường thẳng d vuông góc với Ax tại B.
At cắt d tại O.
Dựng đường tròn (O, OB) đó là đường tròn phải dựng.
* Chứng minh:
Vì O ∈ d nên OB ⊥ Ax do đó Ax tiếp xúc với (O) tại B.
Vì O ∈ At nên khoảng cách từ O đến Ay bằng OB do đó Ay tiếp xúc với (O).
* Biện luận:
d cắt At tại điểm O duy nhất nên bài toán luôn có một nghiệm hình.
Xem thêm Giải bài tập Toán 9 tập 1 – Luyện tập – Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau tại đây
Trackbacks