Giải bài tập Toán 9 tập 1 – Luyện tập – Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Giải toán 9 tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 30 (tr. 116 SGK)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D.

Chứng minh rằng:

a) $={\mathrm{90°}}^{}$

b) $CD=AC+BD$

c) Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn.

Hướng dẫn:

a) Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra:

= ; = => = 90°

b) Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra CM = CA; DM = DB

c) Áp dụng hệ thức = b’.c’ cho tam giác vuông COD suy ra AC.BD =  = không đổi.

Giải:

a) Vì Ax ⊥ AB, By ⊥ AB nên Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn (O).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

= ; =

Ta có = + =  latex \widehat{AOB} $ = 90°.

b) Tiếp tuyến qua M cắt hai tiếp tuyến Ax, By tại C. Ta có:

CM = CA; DM = DB

Ta có CD = MC + MD = AC + BD.

d) Áp dụng hệ thức  = b’.c’ vào tam giác vuông COD, ta được:

= MC.MD

=> AC.BD =  =  không đổi.

Bài 31 (tr. 116 SGK)

Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O).

a) Chứng minh rằng:

$2AD=AB+AC-BC.$

b) Tìm các hệ thức tương tự hệ thức ở câu a).

Hướng dẫn:

a) Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau để tìm các đoạn tiếp tuyến bằng nhau.

b) Có hai hệ thức tương tự.

Giải:

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AD = AF; BD = BE; CE = CF.

Ta có:

AB + AC – BC = (AD + BD) + (AF + CF) – (BE + CE)

= (BD – BE) + (CF – CE) + (AD + AF) = 2AD.

b) Các hệ thức tương tự là:

2BE = BC + BA – CA; 2CF = CA + CB – AB.

Bài 32 (tr. 116 SGK) Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm. Diện tích của tam giác ABC bằng:

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Giải:

Tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác. Vì tam giác ABC là tam giác đều nên tâm 0 cũng là giao điểm của các đường cao, đường trung tuyến.

Do đó AD = 3OD = 3 (cm)

Mặt khác: 

Câu trả lời đúng là D.

Xem thêm Giải bài tập Toán 9 tập 1 – Hình học – Bài 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn tại đây