Vị trí tương đối của hai đường tròn
A. Ví dụ
Ví dụ 1.
Cho M, N là các giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’). Đường thẳng OM cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai là A, B. Đường thẳng 0’M cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai là C, D. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy.
Giải:
Vì OM cắt (O) tại điểm thứ hai là A (gt) nên AM là đường kính của (O) mà C thuộc (O) => ∆ACM nội tiếp đường tròn đường kính AM
=> góc MCA = 90° => MC ⊥ AC. Mà D, M, C thẳng hàng (gt) => AC ⊥ MD.
Chứng minh tương tự ta có DB ⊥ AM.
Vì AN ⊥ MN và DN ⊥ MN (cmt) ,
=> A, D, N thẳng hàng và MN ⊥ AD.
∆AMD có ba đường cao là AC, DB, MN, suy ra AC, BD và MN đồng quy.
Ví dụ 2.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng với điểm B nằm giữa hai điểm A, C sao cho AB > BC. Vẽ đường tròn (O; 
a) Xác định vị trí tương đối của (O) và (O’).
b) Tứ giác ADCE là hình gì ?
c) Chứng minh rằng DB.DG = EB.EH = 
Giải:
Vì OM vuông góc dây cung DE của (O) tại M nên M là trung điểm của DE (định lí đường kính và dây cung), mà M là trung điểm của AC (gt) => hai đường chéo DE và AC của tứ giác ADCE giao nhau tại trung điểm M của mỗi đường => tứ giác ADCE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). Mà DE ⊥ AB (gt)
=> ADCE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).
Vì ABGC nội tiếp đường tròn đường kính BC (gt) nên BGC = 90° => BG -L EC.
Vì ÀADB nội tiếp đường tròn đường kính AB (gt) nên ADB = 90°
=> AD ⊥ BD. Mà AD // EC (do ADCE là hình thoi)
=> DB ⊥ EC => D, B, G thẳng hàng.
Xét ∆DBM và ∆DEG có :
+ Chung D
+ góc DMB = góc DGE = 90° (do DE ⊥ AC tại M và DG ⊥ EC tại G)
=> ∆DBM ∼ ∆DEG (g.g) => 
=> DB.DG = DM.DE = 
Lí luận tương tự ta có EB.EH =
B. Bài tập cơ bản
Bài 7.1.
Cho đường tròn (O; R) và (O’; r). Hãy điền vào chỗ trống trong bảng sau:
Bài 7.2.
Ba đường tròn tâm I, K, H có bán kính bằng nhau và bằng R cùng đi qua một điểm O và từng đôi một cắt nhau tại điểm thứ hai là A, B, C. Chứng minh rằng :
a) A, I, H, B là bốn đỉnh của một hình bình hành ;
b) Đường tròn đi qua ba điểm A, B, c cũng có bán kính R.
Bài 7.3.
Cho 2 đường tròn (O ; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R’ < R). Vẽ dây AB của (O), dây AC của (O’) sao cho AC ⊥ AB.
a) Chứng minh rằng OB // O’C ;
b) Khi B thay đổi trên (O) thì BC đi qua một điểm cố định.
C. Bài tập nâng cao
Bài 7.4.
Cho đường tròn (O ; 1), A là một điểm cố định trên (O). Vẽ ∆AMB vuông có cạnh huyền AB là một dây của (O).
a) Chứng minh rằng OM ≤ 
b) Nêu cách dựng điểm M thoả mãn điều kiện đề bài và OM =
Bài 7.5.
Cho đường tròn (O) và một điểm A ở trong đường tròn đó. Kẻ cát tuyến BAC bất kì qua A. Vẽ đường tròn (I) đi qua A, B và tiếp xúc với đường tròn đã cho tại B. Vẽ đường tròn (K) đi qua A, C và tiếp xúc với đường tròn đã cho tại C. (I) cắt (K) tại điểm thứ hai là M.
a) Tứ giác AIOK là hình gì ?
b) Chứng minh rằng khi cát tuyến BAC quay quanh A thì M chuyển động trên một đường tròn cố định.
Comments mới nhất