Hệ tọa độ trong không gian – Kiến thức cần nhớ – Sách bài tập hình học 12

Kiến thức cần nhớ   về hệ tọa độ trong không gian  

I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc trong không gian gồm ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi ,  ,  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz. Điểm O được gọi là gốc toạ độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oix) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ.

Không gian gắn với hệ toạ độ Oxyz được gọi là không gian Oxyz.

II. TOẠ ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM

Trong không gian Oxyz cho một điểm M tuỳ ý.

Khi đó ta có = x + y + z và gọi bộ ba số (x ; y ; z) là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ độ Oxyz đã cho. Ngược lại, với bộ ba số (x ; y ; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thoả mãn hệ thức = x +y + z. Ta viết: M = (x;y ; z) hoặc M(x ;y ; z).

III. TOẠ ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ

Trong không gian Oxyz cho vectơ với = a1 +a2 + a3 .

Khi đó bộ ba số (a1 ; a2 ; a₃) được gọi là toạ độ của vectơ đối với hệ toạ độ Oxyz cho trước. Ta viết: = (a1; a₂; a₃) hay (a1; a2; a₃).

IV. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ = (a1 ; a2 a3), = (b1 ,  b₂; b₃) và một số k. Khi đó ta có :

+ = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3)

– = ( a1 – b1 ; a2 – b2 ; a3 – b3)

k = ( k.a1 ; k.a2 ; k.a3)

Xem thêm:  Các dạng toán cơ bản về hệ tọa độ trong không gian lớp 12.

V. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ  =( a1 ,  a₂; a₃), b = ( b_{1 ;} b₂ ; b₃).

Ta có . = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

b) Độ dài của một vectơ :

 Cho vectơ = (a1 ;  a₂ ; a3)

c) Khoảng cách giữa hai điểm A = (x_A;  y_A; Z_A) và B = (x_B ; y_B ; Z_B) là

d) Gọi  φ là góc giữa hai vectơ = (a1;  a₂; a3 và b = (b1; b₂; b₃) với và khác 0.

 

e)

VI. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I = (a;b;c) bán kính r có phương trình

 

bán kính  :