Hệ tọa độ trong không gian - Các dạng toán cơ bản

Đang tải...

Kiến thức cần nhớ về hệ tọa độ trong không gian

Các dạng toán cơ bản về hệ tọa độ trong không gian lớp 12.

VẤN ĐỀ 1.

Tìm toạ độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thoả mãn một số điều kiện cho trước

1. Phương pháp giải

Sử dụng các đỊnh nghĩa và khái niệm có liên quan đến vectơ : toạ độ của vectơ, độ dài của vectơ, … để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, tính tổng (hiệu) của hai vectơ, tính các toạ độ trọng tâm của một tam giác,…

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (5 ; 7 ; 2), $\overrightarrow{b}$ = (3 ; 0 ; 4), $\overrightarrow{c}$ = (-6 ; 1 ; -1). Hãy tìm toạ độ của các vectơ sau đây :

a) $\overrightarrow{m}$ = 3 $\overrightarrow{a}$ – 2 $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$

b) $\overrightarrow{n}$ = 5 $\overrightarrow{5a}$ + 6 $\overrightarrow{b}$ + 4 $\overrightarrow{c}$ .

Ví dụ 2. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ) tạo với nhau một góc 120°. Tìm | $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ |.

Giải

Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’.

Hãy phân tích vectơ $\overrightarrow{AC'}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{AB'}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AD'}$ .

Giải

Ví dụ 4. Trong không gian cho ba điểm A(ỉ ; 0 ; -2), B(2 ; 1 ; -1), C( 1 ; -2 ; 2).

a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác

b) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác

Giải

VẤN ĐỀ 2:

Chứng minh các hệ thức vectơ

1. Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng, phép trừ và các tính chất của các phép toán về vectơ để biến đổi các hệ thức vectơ.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF.

a) Chứng minh rằng:

b) Với điểm M bất kì trong không gian, hãy chứng minh rằng:

Giải:

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}$ + $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{BC}$ .

Nhận xét. Trên đây ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Mặt khác ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái bằng phương pháp tương tự.

Ví dụ 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC với I là trọng tâm của tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng :

Giải:

VẤN ĐỀ 3:

Tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng

1. Phương pháp giải

– Sử dụng định nghĩa tích vô hướng và biểu thức toạ độ của tích vô hướng.

– Sử dụng các công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(-ì ; -2 ; 3), 5(0 ; 3 ; 1), C(4 ; 2 ; 2).

Giải

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2 ; o ; 1), B(-1 ; 2 ; 3).

a) Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

b) Tìm côsin của các góc tạo bởi mỗi vectơ đơn vị $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ trên ba trục Ox , Oy, Oz và vectơ AB.

Giải

Ví dụ 3. Hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và có : ASB =α, góc BSC = β, CSA = γ.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Hãy tính khoảng cách SG.

Giải

Theo ví dụ 3 ( Vấn đề 2 )ta có:

Ví dụ 4. Hệ trục Oxyz có $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ , $\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz. Gọi Oa, Ob, Oc theo thứ tự là các tia phân giác của các góc yOz, zOx, xOy và a , b, c theo thứ tự là ba vectơ đơn vị trên ba tia phân giác ấy.

a) Hãy tính toạ độ các vectơ $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ .

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{b}$ . $\overrightarrow{c}$ , $\overrightarrow{c}$ . $\overrightarrow{a}$ và từ đó suy ra góc giữa các cặp vectơ đó.

Giải