Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng – Sách bài tập Toán 7 tập II

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng – Sách bài tập Toán 7 tập II

ĐỀ BÀI:

Bài 54.

Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Bài 55.

Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ∆BDE = ∆CDE.

Bài 56.

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d. Tìm một điểm C nằm trên d sao cho C cách đều A và B.

Bài 57.

Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I và II như hình sau. Cho điểm M thuộc phần I và điểm N thuộc phần II. Chứng minh rằng:

a) MA < MB

b) NA > NB

Bài 58.

Cho hình 11. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.

Bài 59.

Cho hai điểm A, B và một đường thẳng d. Vẽ đường tròn tâm O đi qua hai điểm A, B sao cho O nằm trên đường thẳng d.

Bài 60.

Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác cân có đáy là AB.

Bài 61.

Cho góc xOy bằng 60°, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC.

a) Chứng minh rằng OB = OC

b) Tính số đo góc BOC

Bài 62.

Cho hình bên, M là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a. Vẽ điểm C sao cho a là đường trung trực của AC.

a) Hãy so sánh MA + MB với BC.

b) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng a để MA + MB là nhỏ nhất.

Bài 63.

Hai nhà máy được xây dựng tại hai điểm A và B nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài 7.1.

Trên đường trung trực của đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M, N. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

Bài 7.2.

Cho hai tam giác cân chung đáy ABC và ABD, trong đó ABC là tam giác đều. Gọi E là trung điểm của AB. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai?

(A) Đường thẳng CD là đường trung trực của AB.

(B) Điểm E không nằm trên đường thẳng CD.

(C) Đường trung trực của AC đi qua B.

(D) Đường trung trực của BC đi qua A.

Bài 7.3.

Đường trung trực của cạnh BC trong tam giác ABC cắt cạnh AC tại D. Hãy tìm:

a) AD và CD nếu BD = 5cm; AC = 8cm;

b) AC nếu BD = 11,4cm; AD = 3,2cm.

Bài 7.4.

Trong tam giác ABC, hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm D nằm trên cạnh BC. Chứng minh rằng:

a) D là trung điểm của cạnh BC.

b) Góc A = góc B + góc C.

Bài 7.5.

Chứng minh rằng nếu trong tam giác ABC có hai cạnh AB và AC không bằng nhau thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A không vuông góc với BC.

 

Xem thêm:Tính chất ba đường phân giác của tam giác tại đây.

LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:

Bài 54.

(h. 72)

∆ ABC cân tại A => AB = AC => A thuộc đường trung trực của BC.

∆ DBC cân tại D => DB = DC => D thuộc đường trung trực của BC.

∆ EBC cân tại E => EB = EC => E thuộc đường trung trực của BC.

Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Bài 55.

(h. 73)

D thuộc đường trung trực của BC => DB = DC.

E thuộc đường trung trực của BC => EB = EC.  ∆ BDE = ∆ CDE (c.c.c)

Bài 56.

(h. 74)

Vẽ đường thẳng m là đường trung trực của AB. Giao điểm của m với d là điểm c phải tìm.

Chú ý : Nếu AB  ⊥ d thì không tìm được điểm c.

Bài 57.

(h. 75)

a) Gọi c là giao điểm của MB và d. Ta có : CA = CB (tính chất đường trung trực).

Do đó :              MB = MC + CB  = MC   +     CA.

Xét ∆ ACM :             MA < MC + CA.

Do đó                             MA < MB.

b) Chứng minh tương tự câu a) ta đươc NB < NA.

Bài 58.

(h. 76)

AC = AD => A thuộc đường trung trực của CD.

BC = BD => B thuộc đường trung trực của CD.

Vậy AB là đường trung trực của CD, do đó AB  ⊥ CD.

Bài 59.

(h. 77)

Vẽ đường trung trực m của AB. Giao điểm của m và d là tâm o phải dựng.

Chú ý : Trường hợp m // d thì không dựng được điểm o. Trường hợp m trùng d thì có vô số điểm O, do đó có vô số đường tròn thoả mãn bài toán.

Bài 60

(h. 78)

Các điểm c phải tìm có tính chất CA = CB và ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Tập hợp các điểm C là đường trung trực của AB, trừ trung điểm M của AB.

Bài 61.

(h. 79)

a) Ox là đường trung trực của AB

=> OA = OB                     (1)

Oy là đường trang trực của AC

=> OA = oc.                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra OB = OC.

b) ∆ AOC cân tại O=> = Ô 1=Ô2 ;

∆ AOB cân tại O =>  Ô 3 = Ô 4

Suy ra:      Ô 1 + Ô 3 = Ô 2 + Ô 4.

Do đó :

Ô 1 + Ô 3 + Ô 2 + Ô 4 = 2 (Ô 1 + Ô 3) = 2. góc xOy = 2.60° =120°.

Vậy BÔC = 120°.

 

Bài 62.

(h. 80)

a) Gọi H là giao điểm của đường thẳng a với AC.

∆MHA = ∆MHC (c.g.c) => MA = MC.

Do đó

MA + MB = MC + MB.

Gọi N là giao điểm của đường thẳng a với BC (dễ chứng minh NA = NC).

Nếu M không trùng với N thì:

MA + MB = MC + MB > BC

(bất đẳng thức trong ∆BMC).

Nếu M trùng với N thì :

MA + MB = NA + NB = NC + NB = BC.

Vậy MA + MB ≥ BC.

b) Từ câu a) ta suy ra : Khi M trùng với N thì tổng MA + MB là nhỏ nhất.

Bài 63.

Áp dụng kết quả của bài 62.

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài 7.1.

Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB. Tương tự, NA = NB. Ta có ∆AMN = ∆BMN (c.c.c) nên các khẳng định (A), (B), (C) sai và (D) đúng.

Đáp số: (D).

Bài 7.2.

Hai tam giác cân ABC và ABD có chung đáy AB nên có CA = CB và DA = DB. Suy ra CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB, do đó E thuộc CD.

Tam giác ABC là tam giác đều nên có AB = AC = BC, suy ra đường trung trực của BC đi qua A và đường trung trực của AC đi qua B.

Đáp số: (B).

Bài 7.3

(h.bs.21)

a) Vì D thuộc đường trung trực của BC nên DB = DC. Mặt khác, D ở giữa A và c nên AD = AC – DC.

Nếu BD = 5cm ; AC = 8cm thì CD = BD = 5cm và AD = 8-5 = 3 (cm).

b) AC = AD + DC = AD + BD = 3,2 + 11,4 – 14,6(cm).

Bài 7.4.

(h.bs.22)

a) Vì ba đường trung trực của tam giác đồng quy nên D thuộc đường trung trực của cạnh BC. Mặt khác đường trung trực của cạnh BC đi qua trung điểm của BC nên D là trung điểm của cạnh BC.

b) Ta có ∆DEB = ∆DEA (c.g.c) nên góc B  = góc A1. Tương tự góc C  = góc A2.

Suy ra góc A = góc A1 + góc A2 = góc B + góc C  .

Bài 7.5.

(h.bs.23)

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của cạnh BC.

Giả sử AM ⊥ BC. Khi đó AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra AB = AC. Điều này mâu thuẫn với giả thiết AB ≠ AC. Vậy trung tuyến AM không vuông góc với BC

Bài 7.6.

(h.bs.24)

Ta có |MA – MB| ≥ 0 với một điểm M tuỳ ý và |MA — MB| = 0 chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các  điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.

Tóm lại : Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA – MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.