Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
A. Ví dụ
Ví dụ 1.
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ tia Ax, By là hai tiếp tuyến của (O). M là điểm bất kì trên tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn tại C, cắt By tại N. MO cắt AC tại I. NO cắt CB tại K.
a) Tứ giác CIOK là hình gì ?
b) Biết AB = 2R, AM = 
Giải:
a) Vì Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt) mà M, N lần lượt thuộc tia Ax, By (gt) nên MA và NB là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Ta có MA và MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt) nên OM là phân giác của COA (định lí).
∆AOC cân tại O (vì OA = OC = R) có OI là đường phân giác
=> OI cũng là đường trung trực
=>OI ⊥ IC. (1)
Lí luận tương tự ta có OK ⊥ CK. (2)
Vì C thuộc đường tròn đường kính AB => ACB = 90° . (3)
Từ (1), (2) và (3) => góc CIO = góc CKO = góc ICK = 90°
=> tứ giác CIOK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).
b) M cách đều A và c (chứng minh trên – cmt) => MA = MC =
Xét ∆MON vuông tại O (do MÔN = 90° vì CIOK là hình chữ nhật) có đường cao CO (do MN tiếp xúc vói đường tròn (O) tại Cc nên CO ⊥ MN).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 
NM và NB tiếp xúc với (O) lần lượt tại c và B (gt) => CN = BN (định lí)
=> BN = 
Vì MA và NB tiếp xúc với (O) tại A và B và AB là đường kính của (O) (gt) nên MA ⊥ AB và NB ⊥ AB => tứ giác MABN là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang). Mà MA ⊥ AB nên MABN là hình thang vuông => diện tích hình thang vuông AMNB là :
Ví dụ 2.
Từ điểm A ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt (O) tại hai điểm I, K (I nằm giữa A và O). Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC và K là tâm đường tròn bàng tiếp ∆ABC.
Giải:
Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC : Vì AB và AC tiếp xúc với (O) lần lượt tại B và C (gt) nên AO là phân giác của CÂB và AB = AC (định lí).
góc ABI + góc IBO = góc ABO = 90° (AB tiếp xúc với (O) tại B (gt)). (1)
Vì AB = AC (chứng minh trên) và OB = OC (do B, C ∈ (O)), nên OA là trung trực của BC => OA ⊥ BC => góc BHI = 90° .
Xét ∆BHI: góc HBI + góc HIB = 180° – góc BHI = 90°
=> góc HBI + góc BIO = 90° . (2)
Do OB = OI (B, I ∈ (O)) => AOBI cân tại O => IBO = mo. (3)
Từ (1), (2) và (3) => góc ABI = góc HBI => BI là phân giác của ABC .
Vì BI và AO là hai đường phân giác trong của ∆ABC (cmt) và BI cắt AO tại I nên I là tâm của đường tròn nội tiếp ∆ABC (định nghĩa).
+ Chứng minh K là tâm đường tròn bàng tiếp AABC :
Tia AO cắt (O) tại hai điểm I, K (gt) => IK là đường kính của (O). ∆BIK nội tiếp đường tròn đường kính IK => BK ⊥ BI, mà BI là phân giác của ABC (cmt) nên BK là phân giác của góc kề bù với ABC
=> BK là phân giác ngoài của ∆ABC.
Mà AK là phân giác trong của ∆ABC (cmt) và BK giao AK tại K nên K là tâm đường tròn bàng tiếp ∆ABC (định nghĩa).
B. Các bài tập cơ bản
Bài 6.1.
Cho đoạn thẳng OA cố định. Vẽ đường tròn (O), bán kính R thay đổi sao cho R < OA. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là tiếp điểm). Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt tia ON tại S. Đường thẳng vuông góc với AN tại A cắt tia OM tại T.
a) Tứ giác ATOS là hình gì ?
b) Chứng minh rằng khi R thay đổi mà R < OA thì T và S cùng chuyển động trên một đường thẳng cố định.
Bài 6.2.
Cho đường tròn (O ; R) và điểm A ở ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN.với đường tròn (B, C, M, N ∈ (O)). Gọi I là trung điểm của dây MN.
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn ;
b) Tìm điều kiện của điểm A để ABOC là hình vuông.
Bài 6.3.
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ điểm M bất kì trên d và nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MC, MD (C, D là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đường tròn ngoại tiếp ∆MCD luôn đi qua hai điểm cố định ;
b) Xác định vị trí của M trên d để ∆MCD là tam giác đều.
C. Các bài tập nâng cao
Bài 6.4.
Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cố định và không giao nhau với đường tròn. Từ điểm M tuỳ ý trên d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B thuộc (Ợ)). Kẻ OH vuông góc với d tại H. Dày cung AB cắt OH tại I, cắt MO tại K.
a) Chứng minh rằng IO.OH = OK.OM ;
b) Khi M thay đổi trên d thì điểm K di chuyển trên đường nào ?
Bài 6.5.
Cho ∆ABC vuông tại A (AC > AB), I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Gọi o là trung điểm của BC. Cho biết góc BIO = 90°.
a) Chứng minh rằng BC + BA = 2AC ;
b) Tính tỉ số AB/AC.
Comments mới nhất