Tính chất ba đường trung trực của tam giác – Sách bài tập Toán 7 tập II

Tính chất ba đường trung trực của tam giác – Sách bài tập Toán 7 tập II

ĐỀ BÀI:

Bài 64.

Cho tam giác ABC. Tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C.

Bài 65.

Cho hình bên. Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng.

Bài 66.

Dựa vào kết quả của bài 65, chứng minh rằng:

a) Các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

b) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Bài 67.

Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gẫy (hình bên). Hãy nêu cách xác định tâm của đường viền.

Bài 68.

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AC cắt đường thẳng AM ở D. Chứng minh rằng DA = DB.

Bài 69.

Cho tam giác ABC có Â là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.

a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì?

b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ?

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài 8.1.

Cho tam giác cân (không đều) ABC có AB = AC. Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

(D)O cách đều ba cạnh của tam giác ABC

Bài 8.2.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác. Khi đó, tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC là điểm:

(A) O                   (B) P;

(C) Q;                 (D) R.

Hãy chọn phương án đúng.

Bài 8.3.

Cho tam giác ABC có Â = 100°. Các đường trung trực của AB và AC lần lượt cắt BC ở E và F. Tính góc EAF.

Bài 8.4.

Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Các đường trung trực của AB; AC cắt nhau tại O và lần lượt cắt BC tại M, N. Chứng minh rằng AO là tia  phân giác của góc MAN.

Xem thêm: Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng  tại đây.

LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ: 

Bài 64.

(h. 81)

Điểm O phải tìm là giao điểm các đường trung trực của ∆ ABC.

Bài 65

(h. 82)

KD là đường  trung trực của AB => KA = KB => ∆ AKAB cân tại K

=> góc K1 = góc K₃ => góc AKB = 2 lần góc K1.

KE là đường trung trực của AC => KA = KC => ∆ KAC cân tại K

=> góc K₂ = góc K₄ => góc AKC = 2 lần góc K₂.

Suy ra góc AKB + góc AKC = 2.K1 +2.K₂ = 2(K1 +K₂) – 2. gócDKE.                             (1)

Ta lại có DA // KE (cùng vuông góc với AC) mà D = 90°

nên góc DKE = 90°                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: góc AKB + góc AKC = 180° .

Vậy B, K, C thẳng hàng.

Bài 66.

a) Theo hình 82 của bài 65 ta suy ra điểm K nằm trên cạnh huyền BC của ∆ ABC vuông tại A.

Điểm K là giao điểm của các đường trung trực của AB, AC nên KB = KA, KA = KC, do đó KB =

KC. Điểm K lại nằm trên cạnh BC nên K là trang điểm của BC. Do đó đường trung trực của BC

cũng đi qua K.

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Theo chứng minh ở câu a), trung điểm K của BC có tính chất KB = KC = KA. Vậy đường trung

tuyến AK bằng nửa cạnh huyền BC.

Bài 67.

(h. 83)

Gọi A, B, C là ba điểm trên đường viền. Kẻ các đường trung trực của AB và của BC, chúng cắt nhau tại O.

Điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên là tâm của đường tròn.

Bài 68.

(h. 84)

∆ ABC cân tại A, AM là trung tuyến nên AM cũng là đường trung trực của BC. D là giao điểm của

các đường trung trực của BC và của AC nên D cũng thuộc đường trung trực của AB. Vậy DA = DB.

Bài 69.

(h. 85)

a)  D  thuộc  đường  trung  trực  của

AB nên DA = DB, vậy ∆ABD cân tại D.

E thuộc đường trung trực của AC nên EA = EC, vậy ∆ACE cân tại E.

b) O là giao điểm các đường

trung trực của ∆ABC nên OA = OB = OC. Do đó đường tròn (O; OA) đi qua A, B, C.

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài 8.1

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB. Vì ba đường trung trực của một tam giác

đồng quy nên OA là đường trung trực của BC, do đó OA ± BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên

trung trực AO đồng thời là đường phân giác của góc A, do đó ∆AOB = ∆AOC, suy ra góc AOB = góc AOC. Do tam giác ABC cân tại A nhưng không là tam giác đều nên o không là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy O không cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Đáp số: (C).

Bài 8.2.

Xem bài tập 66.

Chọn (D).

Bài 8.3.

(h.bs.25)

Vì E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng

AB nên EA = EB, hay tam giác EAB cân tại

đỉnh E. Suy ra góc B = góc A1. Tương tự, có góc C = góc A2. Ta có

góc EAF = Â – (Âi + Â2) = Â – ( góc B + góc C).

Mặt khác:

góc B + góc C = 180° – Â = 180° – 100° = 80°.

Do đó góc EAF = 100° – 80° = 20°.

Bài 8.4.

(h.bs.26)

Theo bài 8.3 ta đã có góc A1 = góc B1, góc  A2 = góc C1. (1)

Ta có O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC

hay các tam giác OAB, OAC và OBC cân tại O. Suy ra góc OAB = góc OBA,

góc OAC = góc OCA, góc OBC = góc OCB. Kết hợp với (1), ta có góc OBM = góc OAM,

góc OCN = góc OAN, hay góc OAM = góc OBC = góc OCB = góc OAN. Vậy AO là tia phân giác

của góc MAN.