Tính chất ba đường cao của tam giác – Sách bài tập Toán 7 tập II
ĐỀ BÀI:
Bài 70.
Cho tam giác ABC vuông tại B. Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?
Bài 71.
Cho hình bên.
a) Chứng minh rằng:
b) Cho góc ACB=40∘. Tính góc
Bài 72.
Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC,
HBC.
Bài 73.
Tam giác ABC có các đường cao BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác cân đó là tam
giác cân.
Bài 74.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tìm trực tâm của tam giác ABC, AHB, AHC.
Bài 75.
Cho hình sau. Có thể khẳng định rằng các đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm hay
không? Vì sao?
Bài 76.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Qua kẻ đường thẳng d vuông góc với AM.
Chứng minh rằng d song song với BC.
Bài 77.
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Kẻ đường cao AE của ∆ABC, đường cao AF của ∆ACD. Chứng minh rằng góc EAF = 90∘.
Bài 78.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D. Chứng minh rằng
BD vuông góc với AC.
Bài 79.
Cho tam giác ABC có AB = AC = 13cm, BC = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Bài 80.
Cho tam giác ABC có góc B, góc C là các góc nhọn, AC < AB. Kẻ đường cao AH. Chứng minh
rằng góc AHB < góc HAC.
Bài 81.
Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng
cắt nhau tạo thành tam giác DEF (hình dưới)
a) Chứng minh rằng A là trung điểm EF.
b) Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác nào?
BÀI TẬP BỔ SUNG:
Bài 9.1.
Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(A) Trực tâm của một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác.
(B) Trực tâm của một tam giác bao giờ cũng nằm ngoài tam giác.
(C) Trực tâm của một tam giác bao giờ cũng trùng với một đỉnh của tam giác.
(D) Cả ba khẳng định trên đều sai.
Bài 9.2.
Cho tam giác ABC không là tam giác cân. Khi đó trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của:
(A) Ba đường trung tuyến;
(B) Ba đường phân giác;
(C) Ba đường trung trực;
(D) Ba đường cao.
Hãy chọn phương án đúng.
Bài 9.3.
Cho tam giác ABC có hai đường cao AH, BK cắt nhau tại điểm M. Hãy tính góc AMB biết  =
55°, góc B = 67∘.
Bài 9.4.
Cho tam giác nhọn ABC cân tại đỉnh A. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau
tại M. Hãy tìm các góc của tam giác ABC, biết góc BMC = 140∘.
Bài 9.5.
Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của
hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chứa
ba cạnh của tam giác.
Bài 9.6.
Cho tam giác ABC, Hai đường phân giác của các cặp góc ngoài đỉnh B và C, đỉnh C và A, đỉnh A
và B lần lượt cắt nhau tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam
giác A’B’C’. Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC là trực tâm của tam
giác A’B’C’.
Xem thêm: Tính chất ba đường trung trực của tam giác tại đây.
LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:
Bài 70.
(h. 86)
Trong ∆ ABC vuông tại B : AB ⊥ BC nên AB là đường cao, CB ⊥ AB nên CB là đường cao.
B là giao điểm của các đường cao kẻ từ A và từ c nên là trực tâm của tam giác ABC.
Bài 71.
(h. 87) a) Xét ∆ ABC, các đường cao AD, BE cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác. Vậy CI ⊥ AB.
b) Tam giác BEC vuông tại E, ta có :
góc EBC = 90° – góc C = 90° -40° = 50° .
Tam giác BID vuông tại D, ta có : góc BID = 90° – góc IBD = 90° – 50° = 40°.
góc DIE = 180° – góc BID = 180° -40° = 140°.
Bài 72.
(h. 88)
Trực tâm của ∆ HAB là điểm C.
Trực tâm của ∆ HAC là điểm B.
Trực tâm của ∆ HBC là điểm A.
Bài 73.
(h. 89)
∆ BEC và ∆ CDB có:
Ê = góc D = 90°
cạnh huyền BC chung,
cạnh góc vuông BD = CE.
Do đó ∆ BEC = ∆ CDB (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra góc EBC = góc DCB.
Tam giác ABC có hai góc bằng nhau nên là tam giác cân.
Bài 74.
(h. 90)
Trực tâm của ∆ ABC là A.
Trực tâm của ∆ AHB là H.
Trực tâm của ∆ AHC là H.
Bài 75.
(h.91)
Các đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm vì chúng là các đường cao của ∆ EAB : EK ⊥ AB, AC ⊥ BE, BD ⊥ AE.
Bài 76
(h. 92)
∆ ABC cân tại A, AM là đường trung
tuyến nên AM là đường cao, do đó AM ⊥ BC. (1)
Ta lại có : d ⊥ AM. (2)
Từ (1) và (2) suy ra d // BC.
Bài 77.
(h. 93)
a) ∆ ABC cân tại A, AE là đường cao nên AE là đường phân giác.
∆ ACD cân tại A, AF là đường cao nên AF là đường phân giác.
AE và AF là các tia phân giác của hai góc kề bù BAC , CAD nên AE ⊥ AF.
Bài 78.
(h. 94)
Trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường
cao, do đó AD ⊥ BC.
Xét ∆ ABC, tạ có AD ⊥ BC, CH⊥ AB, AD và CH cắt nhau ở D nên D là trực tâm của tam giác. Vậy BD ⊥ AC.
Bài 79.
(h. 95)
∆ ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao.
Xét ∆ AMC vuông tại M :
AM2 =AC2-MC2 =132-52
= 169-25 = 144 = 122
Vậy AM = 12cm.
Bài 80.
(h. 96)
∆ ABC có AC > AB nên góc B > góc C.
Ta lại có : góc B + góc A1 = 900 , góc C + góc A2 = 900
nên: góc B + góc A1 = góc C + góc A2.
Do góc B > góc C nên góc A1 < góc A2 .
Chú ý : Sẽ sai lầm nếu giải như sau :
Đường xiên AC > AB nên hình chiếu HC > HB.
Do HC > HB nên góc A2 > góc A1 (đối diện với cạnh lớn là góc lớn) (!)
Từ HC > HB không suy ra được góc A2 > góc A1 vì HC, HB, góc A2, góc A1 là các cạnh
và các góc trong hai tam giác. Trong hai tam giác bất kì, không thể khẳng định đối diện với
cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Bài 81.
(h. 97)
a) ∆ABC và ∆CEA có :
AC: cạnh chung,
góc CAB = góc ACE (so le trong, AB // DE),
góc ACB = góc CAE (so le trong, BC // EF).
Do đó ∆ABC = ∆CEA (g.c.g), suy ra BC = AE.
Chứng minh tương tự, BC = AF. Do đó A là trang điểm của EF.
b) Gọi AH là đường cao của ∆ABC. Ta có AH ⊥ BC, EF//BC nên AH ⊥ EF. Ta lại có A là trang điểm của EF nên AH là đường trung trực của EF. Như vậy đường cao AH của ∆ABC là đường trung trực của EF.
Chứng minh tương tự, đường cao BI của ∆ABC là đường trung trực của DF, đường cao CK của ∆ABC là đường trung trực của DE.
Vậy các đường cao của ∆ABC là các đường trung trực của ∆DEF.
Chú ý : Ta đã có định lí: Các đường trung trực của ∆DEF gặp nhau tại một điểm. Do đó các đường cao của ∆ABC cũng gặp nhau tại một điểm.
BÀI TẬP BỔ SUNG:
Bài 9.1.
Trực tâm của tam giác nằm trong tam giác chỉ với tam giác nhọn, nằm ngoài tam giác chỉ với tam giác tù, trùng với một đỉnh của tam giác chỉ với tam giác vuông. Chọn (D).
Bài 9.2.
Chọn (D).
Bài 9.3.
(h.bs.27)
Để tính góc AMB, ta cần tính Ai, Bi.
Trong tam giác vuông AHB có
 1= 90° – góc ABH = 90° – 67° = 23°.
Trong tam giác vuông AKB có
góc B1 =90°- góc BKA = 90° -55° = 35°
Vậy trong tam giác AMB có
góc AMB = 180° – (góc A1 + góc B1) = 180° – (23° + 35°) = 122°
Bài 9.4.
(h.bs.28)
Xét tam giác vuông BKM. Do
BMC = 140° nên góc B1 = 140° – 90° = 50°.
Trong tam giác vuông AHB có
 = 90° – góc B1 = 90° – 50° = 40°.
Tam giác ABC cân tại A, có Â = 40° nên góc B = góc C = (180° – 40°) : 2 = 70°.
Bài 9.6.
(h.bs.29)
Giả sử hai tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC cắt nhau tại O. Ta sẽ
chứng minh AO là tia phân giác của góc A.
Kẻ các đường vuông góc OH, OI, OK từ O lần lượt đến các đường thẳng AB, BC, AC.
Vì BO là tia phân giác của góc HBC nên OH = OI. (1)
Vì CO là tia phân giác của góc KCB nên
OI = OK (2)
Từ (1) và (2) suy ra OI = OH = OK. (3)
Từ (3) suy ra AO là tia phân giác của góc BAC và ta có điều phải chứng minh.
Bài 9.6.
(h.bs.30)
Ta có AA’ ⊥ AB’ vì chúng là hai tia phân giác của hai góc kề bù. Tương tự A’A ⊥ AC’. Vì qua A chỉ
có một đường vuông góc với AA’ nên ba điểm B’, A, C’ thẳng hàng và A’A J_ B’C, hay A’A là một
đường cao của tam giác A’B’C. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được B’B và cc là hai đường cao
của tam giác A’B’C.
Mặt khác theo cách chứng minh của bài 9.5 ta có AA’, BB’, cc là ba tia phân giác của các góc A, B,
c của tam giác ABC. Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC là trực tâm
tam giác A’B’C.
Comments mới nhất