Tính chất ba đường cao của tam giác – Bài tập sách giáo khoa Toán 7 tập II
ĐỀ BÀI:
Bài 58.
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.
Bài 59.
Cho hình 57.
a) Chứng minh NS⊥LM
b) Khi góc LNP=50 0, hãy tính góc MSP và góc PSQ.
Bài 60.
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).
Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh KN ⊥ IM.
Bài 61.
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.
Bài 62.
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Xem thêm: Tính chất ba đường phân giác của tam giác – tại đây.
LỜI GIẢI, HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ:
Bài 58.
– Xét tam giác ABC vuông tại A (hình a):
BA là đường cao kẻ từ B, CA là đường cao kẻ từ c.
Do đó A là trực tâm của ∆ABC.
– Xét tam giác ABC có Â> 90° (hình b):
Kẻ đường cao BD.
Nếu D nằm giữa A và c thì ∆BAD có tổng các góc lớn hơn 180°
Nên D nằm ngoài cạnh AC.
Kẻ đường cao CE.
Nếu E nằm giữa A và B thì ∆CAE có tổng các góc lớn hơn 180°.
Nên E nằm ngoài cạnh AB.
Do các đường cao BD, CE đều nằm ngoài ∆ABC nên giao điểm của chúng nằm bên ngoài ∆ABC.
Vậy trực tâm của tam giác tù ở bên ngoài tam giác.
Bài 59.
Hướng dẫn:
S là trực tâm ∆LMN => NS ⊥ LM
Giải:
a)
LP ⊥ MN => LP là đường cao của ∆LMN
MQ ⊥ LN => MQ là đường cao của ∆LMN
∆LMN có hai đường cao LP, MQ cắt nhau tại s nên s là trực tâm của tam giác,
Do đó NS là đường cao của ∆LMN => NS ⊥ LM.
b) ∆MQN vuông tại Q => góc QNM + góc NMQ = 90°
=> NMQ = 90° – QNM = 90° – 50° = 40°.
∆MSP vuông tại P => góc MSP + góc PMS = 90°.
=> góc MSP = 90° – góc PMS = 90° – 40° = 50°.
Do đó góc PSQ = 180° – MSP = 180° – 50° = 130°.
Bài 60.
Hướng dẫn:
M là trực tâm của ∆IKN => IM _L KN.
Giải:
KM ⊥ IN (giả thiết) => KM là đường cao của ∆IKN.
NJ ⊥ IK (giả thiết) => NJ là đường cao của ∆IKN.
∆IKN có hai đường cao KM và NJ nên M là trực tâm của tam giác IKN.
=> IM là đường cao của ∆IKN => IM ⊥ KN.
Bài 61.
Hướng dẫn:
Trực tâm của tam giác tù nằm ngoài tam giác.
Giải:
a) H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC,
BH ⊥ AC, CH⊥AB.
∆HBC có BA ⊥ HC, CA ⊥ HB, BC ⊥ HD
nên A là trực tâm của ∆HBC.
b) Tương tự: C là trực tâm của ∆HAB; B là trực tâm của ∆HAC.
Bài 62.
a) Xét ∆ABC có các đường cao BD, CE bằng nhau.
∆ABD và ∆ACE có:
góc D = góc E – 90° (tính chất của đường cao)
BD = CE (giả thiết)
A là góc chung
Nên ∆ABD = ∆ACE (cạnh góc vuông – góc nhọn)
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)
=> ∆ABC cân tại A.
Xét tam giác ABC có các đường cao BD, CE, AI bằng nhau. Theo câu a).
Nếu BD : CE thì ∆ABC cân tại A => AC = AB (1)
Nếu AI = BD thì bC cân tại C => CA = CB (2)
Từ (1) và (2) ta có: AB = AC = BC.
Vậy ∆ABC là tam giác đều.
Trackbacks