Tích vô hướng của hai vectơ – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Tích vô hướng của hai vectơ hình học lớp 10

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ và khác vectơ 0. Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là ., được xác định bởi công thức sau :

. = ||.||

Lưu ý:

• Với ,  ≠ , ta có:

. = 0 ⇔   .

•   = ||.|| = .

2. Các tính chất của tích vô hướng

Vói ba vectơ , , bất kì và mọi số k ta có :

. = . (tính chất giao hoán) ;

.( + ) = . + . (tính chất phân phối) ;

(k). = k(.) = . (k);

 ≥ 0;

= 0 ⇔  = .

+  =  + 2. + 

– )^2 $ =  – . + .

( + )( – ) =  – .

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng tọa độ (O, , ) cho hai vectơ  = (),  = ().

Khi đó tích vô hướng .  là . = .

4. Ứng dụng của tích vô hướng

a) Tính độ dài của vectơ. Cho  = ($latex a_1; a_2), khi đó:

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Tính tích vô hướng của hai vectơ

1. Phương pháp

• Áp dụng công thức của định nghĩa : .= ||.||.cos(, ).
• Dùng tính chất phân phối : ( + ) = . + ..

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD cạnh a.

Tính tích . và ..

GIẢI

. = ||.||.cos 90º = 0.

. = ||.||.cos 45°

Ví dụ 2. Tam giác ABC vuông tại C có AC = 9, Cb = 5. Tính .

GIẢI

Ví dụ 3. Tam giác ABC có ,  và AB = a. Tính:

a) .;

b) .;

c) .

GIẢI

Ta có BC = 2a. AC = a (h.2.9)

a) . = ||.||cos90º = 0.

b) . =| |.||cos30º

c)

Vấn đề 2

Chứng minh cốc đẳng thức về vectơ có liên quan đến tích vô hướng

1. Phương pháp

• Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng các vectơ.
• Dùng quy tắc ba điểm + = hay quy tắc hiệu = – .

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tuỳ ý ta có

. + . + . = 0 .

GIẢI

Ta có   

. = .( – ) = – – .                           (1)

. = .( – ) = – – –                            (2)

. = .( – ) = .  – .                                   (3)

Cộng các kết quả từ (1), (2), (3) ta được :

. + . + . = 0.

Ví dụ 2. Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng : . = .

GIẢI

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến là AD, BE, CF. Chứng minh rằng . + . + . = 0.

GIẢI

Vấn đề 3

Chứng minh sự vuông góc của hai vectơ và hai đường thẳng

1. Phương pháp

Sử dụng tính chất của tích vô hướng:   ⇔ . = 0

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với DE.

GIẢI

Ta chứng minh . (h.2.11).

Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a .

Gọi Klà trung điểm của cạnh AD, Chứng minh rằng vuông góc với .

GIẢI

Vấn đề 4

Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và các ứng dụng : tính độ dài của một vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ

1. Phương pháp

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho A = (4 ; 6), B = (1 ; 4), c = (7 ; 3/2).

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A

b) Tính độ dài các cạnh AB, AC và BC của tam giác đó.

GIẢI

Nhận xét: Có thể chứng minh tam giác ABC vuông tại A bằng cách chứng minh rằng

Ví dụ 2. Tính góc giữa hai vectơ và trong các trường hợp sau :

a) = (1 ; -2), = (-1  ; -3) ;

b) = (3 ; -4), = (4  ; 3) ;

c) = (2 ; 5),  = (3  ; -7).

GIẢI

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2 ; 4) và B(1 ; 1). Tìm toạ độ điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B.

GIẢI

Giả sử điểm C cần tìm có toạ độ là (x ; y). Để Δ ABC vuông cân tại B ta phải có :

Giải hệ phương trình trên ta tìm được toạ độ hai điểm c và C’ thoả mãn điều kiện của bài toán :

C = (4 ; 0) và C’ = (-2 ; 2) (h.2.13).

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

2.13. Cho hai vectơ  và đều khác vectơ 0. Tích vô hướng . khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0 ?

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.14. Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây :

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.15. Tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính :

a) .

b) .

c) ..

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.16. Cho tam giác ABC có AB= 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm

a) Tính . rồi suy ra giá trị của góc A;

b) Tính ..

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.17. Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8 cm, BC =11 cm.

a) Tính . và chứng tỏ rằng tam giác ABC có góc Atù.

b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính ..

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.18. Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.19. Cho hai vectơ và có || = 5, || = 12 và | + |= Tính tích vô hướng .( + ) và suy ra góc giữa hai vectơ và  + .

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.20. Cho tam giác Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng .. = 1/4 .

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.21. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính. và ...

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.22. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi . = ..

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.23. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A = (2 ; 4), B – (-3 ; 1) và C = (3 ; -1). Tính :

a) Toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành ;

b) Toạ độ chân A’ của đường cao vẽ từ đỉnh A.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.24. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A = (-1 ; 1), B = (1 ; 3) và C = (1 ; -1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.25. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2), C(3 ; 1) và D{0 ; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.26. Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-ỉ ; -1), B(3 ; 1) và C(6 ; 0).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính góc B của tam giác ABC.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.27. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5 ; 4) và B(3 ; -2). Một điểm M di động trên trục hoành Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của |.|.

⇒ Xem đáp án tại đây.

2.28. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(3 ; 4), B{4 ; 1), C(2 ; -3), D(-l ; 6). Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.

⇒ Xem đáp án tại đây.