Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác – Sách bài tập Toán 7 tập II

Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác – Sách bài tập Toán 7 tập II

ĐỀ BÀI:

Bài 1.

So sánh các góc của tam giác ABC biết rằng AB = 5cm, BC = 5cm, AC = 3cm.

Bài 2.

So sánh các cạnh của tam giác ABC biết rằng  góc A = 80∘ , góc C = 40∘

Bài 3.

Cho tam giác ABC có góc B > 90∘ , điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AB < AD < AC

Bài 4.

Điền dấu (x) vào chỗ trống thích hợp:

Bài 5.

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sánh các độ dài BK, BC.

Bài 6.

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D. So sánh các độ dài AD, DC

Bài 7.

Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh 2 góc BAM và CAM.

Bài 8*.

Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh các độ dài BD, DC.

Xem thêm: Bài tập ôn chương IV – Sách bài tập Toán 7 tập II tại đây.

Bài 9*.

Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30°  thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.

Bài 10*.

Chứng minh rằng định lý “Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn” theo gợi ý sau:

Cho tam giác ABC có góc B > góc C.

a) Có thể xảy ra AC < AB hay không ?

b) Có thể xảy ra AC = AB hay không ?

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài 1.1.

Tam giác ABC có Â là góc tù, góc B > góc C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

(A) AB > AC > BC                        (B) AC > AB > BC

(C) BC > AB > AC                        (D) BC > AC > AB

Bài 1.2.

Tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm và AC = 7cm. Gọi góc A1, B1, C1 theo thứ tự là góc ngoài tại đỉnh A, B, C của tam giác đó. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Bài 1.3.

So sánh các cạnh của một tam giác cân, biết rằng nó có một góc ngoài bằng 40°.

Bài 1.4.

Cho tam giác ABC với AB ≥ AC. Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kỳ khác B và C. Chứng minh rằng AM < AC.

Bài 1.5.

Cho tam giác ABC với AB ≤  BC ≤ CA. Trên các cạnh BC và AC lần lượt lấy hai điểm M và N (khác A, B, C). Chứng minh rằng MN < AC.

Bài 1.6.

Cho tam giác ABC có góc A tù. Trên cạnh AB lấy điểm D (khác A và B), trên cạnh AC lấy điểm E (khác A và C). Chứng minh rằng DE < BC.

LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:

Bài 1.

(h. 22) AB = BC => tam giác ABC cân tại B

=> góc C = góc A.

BC > AC => góc A > góc  B (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện).

Vậy góc C = góc A > góc B.

Bài 2.

(h. 23)

góc B = 180° – 80° – 40° = 60°.

góc A > góc B > góc  C => BC > AC > AB (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện).

Bài 3.

(h. 24) Xét A ABD : góc B>góc D₁ (vì góc B >90°) nên AD > AB.

Ta có : góc D₂ > góc B (vì góc D₂ là góc ngoài của tam giác ABD) nên góc D₂ > góc B > 90°.

Xét A ADC : góc D2 > góc C (vì góc D₂ > 90°) nên AC > AD.

Vậy AB < AD < AC.

Bài 4.

Câu 1, 2, 3 đúng. Câu 4 sai.

Bài 5.

(h. 25) BKC > Â = 90°.

tam giác BKC có góc BKC > góc  C (vì góc BKC > 90°) nên BC > BK.

Bài 6.

(h. 26) Kẻ DH  ⊥ BC.

tam giác  ABD = tam giác  HBD (cạnh huyền – góc nhọn) => AD = DH.

A DHC vuông tại H => DH < DC (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền). Suy ra AD < DC.

Bài 7.

(h. 27) Vẽ điểm D sao cho M là trang điểm của AD.

tam giác  AMB = tam giác DMC (c.g.c) nên AB = CD, góc  A1 = góc  D.

Ta có AC > AB, AB = CD nên AC > CD.

tam giác ACD có AC > CD nên góc  D > góc  A₂ .

Vậy góc  A1 > góc  A₂ .

Bài 8*.

(h. 28) Trên AC lấy E sao cho AE = AB.

tam giác ADE = tam giác ADB (c.g.c) => góc E1 = góc B1.

Ta lại có góc  B1> góc C (góc ngoài tam giác  ABC) nên góc E1 > góc C.

tam giác DEC có góc E1 > góc C nên DC > DE.

Do BD = DE nên BD < DC.

Bài 9*.

(h. 29) Xét A ABC vuông tại A có B = 30°.

Cần chứng minh AC = 1/2. BC.

Trên CB lấy D sao cho CD = CA. Tam giác  ACD cân có c = 60° nên là tam giác đều. Suy ra góc A1 = 60°,

AD = AC = CD.

Tam giác  ABD có góc B = 30°, góc A2 = 30° nên là tam giác cân, suy ra AD = BD.

Do đó AC = 1/2.BC.

Bài 10*.

(h. 30) a) Nếu AC < AB thì  góc B < góc C (góc đối A

diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn). Điều

này không xảy ra vì theo đề bài B > c.

b) Nếu AC = AB thì tam giác  ABC cân tại A nên

góc  B = góc  C

Điều này không xảy ra vì theo đề bài góc B > góc  C.

Từ câu a) và câu b) suy ra : AC > AB. Ta đã chứng minh được định lí : “Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn”.

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài 1.1.

Do góc A là góc tù nên A lớn nhất. Vậy có góc A >góc B >góc C.

Từ đó suy ra BC > AC > AB. Chọn (D).

Bài 1.2.

Ta có góc A1 = 180° – Â ; góc  B1= 180° – góc B; góc  C1 = 180° – Theo giả thiết ta có AB < BC < AC. Từ đó suy ra góc C < góc A < góc B. Vậy góc C1 > góc A1 > góc B1. Chọn (C).

Bài 1.3.

Theo giả thiết, tam giác cân này có một góc ngoài bằng 40° nên nó có một góc trong bằng 180° – 40° = 140°. Góc trong này không thể là góc ở đáy của tam giác cân mà phải là góc ở đỉnh. Vậy cạnh đáy của tam giác cân lớn hơn hai cạnh bên của nó.

Bài 1.4.

(h.bs.l) Ta có góc M1 +  góc M2 = 180° nên chỉ có hai khả năng xảy ra ứng với các vị trí của M trên BC là :

góc M1 > 90° hoặc  góc  M2 > 90°,

Nếu góc  M1 > 90° thì tam giác AMC có góc M1 tù nên AM < AC.

Nếu góc M2 > 90° thì trong tam giác ABM có AM < AB. Kết hợp với giả thiết AB < AC, ta suy ra AM < AC. Vậy ta luôn có AM < AC.

Bài 1.5.

(h.bs.2) Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4, ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC.

Trong tam giác ABC có AB < AC, M  ∈ BC (M  ≠  B, M  ≠ C) ; Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC < CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC.

 

Bài 1.6.

Xét tam giác CDE. Ta có góc  E1> góc  A, mà A là góc tù nên góc E1 là góc tù.

Suy ra CD>DE.                                           (1)

Xét tam giác BCD. Ta có góc D1 > góc A nên góc D1 là góc tù. Suy ra BC > CD.    (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC > DE.