Kiến thức cần nhớ về phương trình mặt phẳng – Hình học lớp 12
Các dạng toán cơ bản về phương trình mặt phẳng .
VẤN ĐỀ 1:
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng
1. Phương pháp giải
Loại 1. Viết phương trình mặt phẳng ( α) khi đã biết vectơ pháp tuyế n (A ; B; C) và một điểm M0(x0; y0; z0) thuộc (α)
Phương trình (α) có dạng : A(x – x0) + B(y – y0 ) + C(z – z0) = 0 ;
Khai triển, rút gọn rồi đưa về dạng tổng quát :
Ax + By + Cz + D = 0, với D = -(Ax0 + By0 + Cz0).
Loại 2. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ba điểm M, N, P không thẳng hàng
Tìm vectơ pháp tuyến của (α) : 
Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là
Loại 3. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm M0 (x0; y0; z0) và song song với mặt phẳng (β) : Ax + By + Cz + D = 0
– Phương trình (α) có dạng : Ax + By + Cz + D’ = 0
– Thay toạ độ M0 vào (1) ta tìm được D’.
Loại 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax + By + Cz + D = 0
– Tìm vectơ pháp tuyến của (α)
– Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến là 
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2 ; 5 ; -7) và song song với giá của hai vectơ 
Giải
Ta có:
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là 
5(x – 2) – 2(y – 5) – 3(z + 7) = 0 <=> 5x- 2y – 3z – 21 = 0.
Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(2 ; -1 ; 3), 5(4 ; 0 ; 1), C(-10 ; 5 ; 3).
Giải
Ta có 
Gọi 
Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là 
Vậy phương trình của mặt phẳng (à) là :
l(x – 2) + 2(y + 1) + 2(z – 3) = 0 <=> x + 2y + 2z – 6 = 0.
Ví dụ 3. Cho mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 3y – 4z – 2 = 0 và điểm A(0 2 ; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua A và song song với (α).
Viết phương trình mặt phẳng (γ) đi qua OA và vuông góc với (α) với o là gốc toạ độ.
Giải
a) Vì ( β) song song với (α) nên phương trình mặt phẳng (β) có dạng :
2x + 3y-4z + D = 0. (1)
Điểm A thuộc (β) nên thay toạ độ của A vào (1) ta được
2.0 + 3.2 – 4.0 + D = 0 <=> D = -6.
Vậy phương trình của mặt phẳng (β) là : 2x + 3) – 4z – 6 = 0.
b) Hai vectơ có giá song song hoặc được chứa trong (γ) là :
Suy ra (γ) có vectơ pháp tuyến 
Mặt phẳng (γ) đi qua điểm 0(0 ; 0 ; 0) và có vectơ pháp tuyến là
Vậy phương trình của mặt phẳng (γ) là : -Sx – 4z = 0 hay 2x + z = 0.
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; -2; 0), C(0 ; 0 ; -3).
Giải
Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được phương trình (α) có dang : x/1 + y/-2 + z/-3 = 1 hay 6x – 3y – 2z – 6 = 0.
VẤN ĐỀ 2:
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
(α) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0.
(β) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
1. Phương pháp giải
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổng quát sau đây :
a) (
(
b) (
(
c) (
(
Giải
Ví dụ 2. Xác định giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:
(α): 2x + my + 3z – 5 = 0,
(β) : nx – 8y – 6z + 2 = 0.
Ta có:
VẤN ĐỀ 3:
Tính khoảng cách
1. Phương pháp giải
Loại 1. Tính khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0; z0) đến mặt phẳng (α) :
Ax + By + Cz + D = 0, ta dùng công thức :
Loại 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Ví dụ 1. Cho hai điểm A(l ; -1 ; 2), B( 3 ; 4 ; 1) và mặt phẳng (α) có phương trình : x + 2y + 2z – 10 = 0.
Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (α).
Giải
Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) cho bởi
phương trình sau đây :
(α): x + 2y + 2z + 11 = 0,
(β) : x + 2y + 2z + 2 = 0.
Giải
Ta lấy điểm M(0 ; 0 ; -1) thuộc mặt phẳng (β), kí hiệu d((α), (β)) là
khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β). Ta có
Ví dụ 3. Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng (α): 2x + 3y + z – 17 = 0.
Giải
Xét điểm M(0 ; 0 ; z) ∈ Oz, ta có :
Điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (α)
Vậy điểm M(0 ; 0 ; 3) là điểm cần tìm.
Trackbacks