Phương trình đường elip – Sách bài tập toán 10 – Bài tập Hình học

Phương trình đường elip

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Trong mặt phảng Oxy cho hai điểm (-c ; 0), (c ; 0) và độ
dài không đổi 2a (a > c > 0).
Elip (E) là tập hợp các điểm M sao cho M + M= 2a (h.3.4). Ta có thể viết:
(E)= { M | M + M = 2a }.

2. Phương trình chính tắc của elip (E) là  : 

3. Các thành phần của elip (E) là :

– Hai tiêu điểm : (- c ; 0), (c ; 0);

– Bốn đỉnh : (- a ; 0),  (a ; 0),
{0 ; -b),(0 ; b);

– Độ dài trục lớn : = 2a ;

– Độ dài trục nhỏ = 2b ;

– Tiêu cự : = 2c (h.3.5).

4. Hình dạng của elip (E):

– (E) có hai trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc toạ độ ;

– Mọi điểm của elip (E) ngoại trừ bốn đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b. Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

* VẤN ĐỀ 1

Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác đinh elip đó

1. Phương pháp

– Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip.
– Lập phương trình chính tắc của elip theo công thức :

– Ta có các hệ thức (h.3.6):
• 0 < b < a
• =   –  
• = 2c (tiêu cự)
• = 2a (độ dài trục lớn)
• = 2b (độ dài trục nhỏ)
• M ∈ (E) ⇔ M + M= 2a.

– Ta có toạ độ các điểm đặc biệt của elip (E):
• Hai tiêu điểm : (- c ; 0), (c ; 0);
• Hai đỉnh trên trục lớn : (- a ; 0),  (a ; 0),
• Hai đỉnh trên trục nhỏ : (0 ; -b),(0 ; b);

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6 ;

b) Một tiêu điểm là điểm (- ; 0 ) và điểm ( 1; ) nằm trên elip

GIẢI

a) Ta có 2a = 10 suy ra a = 5, 2c = 6 ⇒ c = 3
=  – = 25 – 9 = 16.


Vì (E) có một tiêu điểm (- ; 0 ) nên c = . Ta có :

Ví dụ 2. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) Một đỉnh trên trục lớn là điểm (3 ; 0) và một tiêu điểm là điểm (-2 ; 0);

b) (E) đi qua hai điểm M(0 ; 1) và N(1; ) 

GIẢI

a) Ta có a = 3 ; c = 2.
Suy ra =  – = 9 – 4 = 5.
Vậy phương trình chính tắc của elip là :

b) Phương trình chính tắc của (E) có dạng :

 

* VẤN ĐỀ 2

Xác định các thành phần của một elip khi biết phương trình chính tắc của elip đó

1. Phương pháp

– Trục lớn của (E) nằm trên Ox, = 2a

–  Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy,  = 2b

– Hai tiêu điểm : (- c ; 0), (c ; 0) với c =
– Tiêu cự : M + M = 2c ;

– Bốn đỉnh :  (- a ; 0),  (a ; 0), (0 ; -b),(0 ; b);

– Tỉ số c / a < 1 (e = c / a còn gọi là tâm sai của elip);

– Phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là
x = ±a ; y = ±b.

Thật vậy, ta có :

= +

= +

Suy ra – = 4cx (1) 

Theo định nghĩa của elip ta có : M +M = 2a (2) 

Chia (1) cho (2) ta được : M – M = 2(c/a)x  (3) 

Từ (2) và (3) ta tính được M và M. 

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình

GIẢI

c = = 4.

Vậy (E) có :

– Trục lớn : = 2a =10 ;

– Trục nhỏ : = 2b = 6;

– Hai tiêu điểm :  (- 4 ; 0), (4 ; 0 )

– Bốn đỉnh : (- 5 ; 0), (5 ; 0), (0 ; – 3), (0 ; 3).

Hình vẽ của (E) như hình 3.8.

Ví dụ 2. Cho elip (E) có phương trình

Hãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là  trong đó và là hai tiêu điểm của (E).

GIẢI

Ta có = 100, = 36.

Suy ra = – = 64 => c = 8.

Đường tròn đường kính có tâm là gốc toạ độ và có bán kính R = c = 8. Vậy phương trình của (C) là : + = 64.

* VẤN ĐỀ 3

Chứng minh điểm M di động trên một elip

1. Phương pháp

Để chứng tỏ điểm M di động trên một elip ta có hai cách (h.3.9):
Cách 1 : Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định , là một hằng số 2a ( < 2a).
Khi đó M di động trên elip (E) có hai tiêu điểm , và trục lớn là 2a.
Cách 2 : Chứng minh trong mặt phẳng toạ độ Oxy điểm M(x ; y) có toạ độ thoả mãn phương trình

với a, b là hai hằng số thoả mãn 0 < b < a.

2. Các ví dụ

GIẢI

Ta có = R + ;  =  – R. Suy ra  +  =  + 

Vậy M di động trên elip có hai tiêu điểm là  và  và có trục lớn là 2a =  + 

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x ; y) di động có tọa độ luôn thỏa mãn

trong đó t là tham số thay đổi.

Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip.

GIẢI

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.28. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau :

a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;

b) Một tiêu điểm là (12 ; 0) và điểm (13 ; 0) nằm trên elip.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.29. Tìm toạ độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:

a) 4 + 9 = 36 ;

b) + 4 = 4.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.30. Cho đường tròn C (; 2a) cố định và một điểm cố đinh nằm trong (). Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua điểm và (C) luôn tiếp xúc với (). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.31. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(x; y) di động có toạ độ luôn thoả mãn

trong đó t là tham số. Hãy chứng tỏ M di động trên một elip. 

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.32. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :

a) Độ dài trac lớn bằng 26 và tỉ số c/a bằng 5/13 ;

b) Tiêu điểm (-6 ; 0) và tỉ số c/a bằng 2/3.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.33. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là  và  biết

và tam giác vuông tại M.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.34. Cho elip (E): 9 + 25 = 225.

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm ,  và các đỉnh của (E).

b) Tìm điểm M ∈ (E) sao cho M nhìn  dưới một góc vuông.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.35. 

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.36. Cho elip (E) : 4  + 9 = 36 và điểm M( 1 ; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

⇒ Xem đáp án tại đây.