Mệnh đề - Chương 1: Mệnh đề. Tập hợp - Giải bài tập đại số 10

Đang tải...

Mệnh đề – Chương 1: Mệnh đề. Tập hợp

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Mệnh đề. Mệnh đề chứa biến

a) Mệnh đề

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

b) Mệnh đề chứa biến

Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa một hay nhiều biến nhận giá trị trong một tập hợp cho trước nào đó. Tính đúng sai của mệnh đề chứa biến phụ thuộc vào giá trị cụ thể của các biến đó.

2. Phủ định của một mệnh đề

Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là $\overline{P}$ , ta có:

$\overline{P}$ đúng khi P sai.

$\overline{P}$ sai khi P đúng.

3. Mệnh đề kéo theo

Mệnh đề “nếu P thì Q ” được gọi là mệnh đề kéo theo, và kí hiệu là P ⇒ Q.

Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.

Như vậy, ta chỉ cần xét tính đúng sai của mệnh đề P ⇒ Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P ⇒ Q đúng, nếu Q sai thì P ⇒ Q sai.

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P ⇒ Q. Khi đó ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

4. Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q .

Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

Nếu cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương.

Khi đó ta kí hiệu P ⇔ Q và đọc là P tương đương Q, hoặc P là điều kiện cần và đủ để có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q.

5. Kí hiệu ∀ và ∃

Kí hiệu ∀ đọc là “với mọi”.

Kí hiệu ∃ đọc là “có một” (tồn tại một) hay “có ít nhất một” (tồn tại ít nhất một).

B. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP (SGK)

Bài 1 (Trang 9, SGK)

a) Là mệnh đề và là mệnh đề sai.

b) Là mệnh đề chứa biến.

c) Là mệnh đề chứa biến.

d) Là mệnh đề và là mệnh đề đúng.

Bài 2 (Trang 9, SGK)

a) “1794 chia hết cho 3” là mệnh đề đúng vì 1+7 + 9 + 4 = 21 chia hết cho 3nên 1794 chia hết cho 3 (theo dấu hiệu chia hết cho 3 của một số tự nhiên). Mệnh đề phủ định là “1794 không chia hết cho 3”.

b) “ $\sqrt {2}$ là một số hữu tỉ” là mệnh đề sai vì $\sqrt {2}$ là một số vô tỉ. Mệnh đề phủ định là “ $\sqrt {2}$ không là một số hữu tỉ”.

c) “π <3,15 ‘Mà mệnh đề đúng vì π = 3,141… < 3,15. Mệnh đề phủ định là “π ≥ 3,15″.

d) “|-125|<0” là mệnh đề sai vì |— 125| = 125 > 0. Mệnh đề phủ định là “|-125|>0”.

Bài 3 (Trang 9, SGK)

a) Mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề đã cho:

Nếu a+b chia hết cho c thì a và b cùng chia hết cho c (a, b, c là những số nguyên).

Các số nguyên chia hết cho 5 đều có tận cùng bằng 0.

Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân.

Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì bằng nhau.

b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bàng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”:

Điều kiện đủ để a +b chia hết cho c là a và b cùng chia hết cho c.

Điều kiện đủ để một số nguyên chia hết cho 5 là số đó có tận cùng bằng 0.

Điều kiện đủ để một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác đó cân.

Điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác đó bằng nhau.

c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”:

Điều kiện cần để a và b cùng chia hết cho c là a + b chia hết cho c.

Điều kiện cần để một số nguyên có tận cùng bằng 0 là số đó chia hết cho 5.

Điều kiện cần để một tam giác là tam giác cân là tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau.

Điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau là chúng có diện tích bằng nhau.

Bài 4 (Trang 9, SGK)

a) Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.

b) Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là hình thoi là hai đường chéo của nó vuông góc với nhau.

c) Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt là biệt thức của nó dương.

Bài 5 (Trang 10, SGK)

a) Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó: ∀x∋R: x.1 = x;

b) Có một số cộng với chính nó bằng 0: ∃x∋R: x + x = 0;

c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0: ∀x∋R: x + (-x) = 0.

Bài 6 (Trang 10, SGK)

a) ∀x∋R: $x^2$ > 0: Bình phương của mọi số thực luôn dương (mệnh đề sai vì với x = 0; $0^2$ = 0).

b) ∃n∋N: $n^2$ = n: Tồn tại một số tự nhiên mà bình phương của nó lại bằng chính nó (mệnh đề đúng vì với n = 1; $1^2$ =1).

c) ∀n∋N: n≤2n : Mọi số tự nhiên bất kì đều không lớn hơn hai lần số đó (mệnh đề đúng vì n≤2n ⇔ n≥0, điều này luôn đúng với mọi n∋N).

Mệnh đề - Chương 1: Mệnh đề. Tập hợp

Bài 7 (Trang 10, SGK)

a) ∃n∋N: n không chia hết cho n (mệnh đề đúng vì với n = 0 thì phép chia cho số 0 là vô nghĩa).

b) ∀x∋Q: $x^2$ ≠ 2 (mệnh đề đúng vì giả sử tồn tại:

⇒ $a^2 = 2b^2$ . Vậy $a^2$ là số chẵn, do vậy a là số chẵn, a = 2a’ với a’∋Z.

⇒ 4 $a'^2 = 2b^2$ hay $b^2 = 2a'^2$ . Vậy $b^2$ là số chẵn, do vậy b là số chẵn. Vậy 2 thuộc ước chung (Ư) của a,b. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ƯCLN của a,b là 1. Vậy không tồn tại x∋Q mà $x^2 = 2$ . Do đó, ∀x∋Q: $x^2$ ≠ 2).