Mặt cầu – Các kiến thức cần nhớ – Sách bài tập hình học 12

 Các kiến thức cần nhớ về mặt cầu – Hình học 12

I. MẶT CẦU VÀ CÁC KHÁI NIỆM CÓ LIÊN QUAN ĐÊN MẶT CẦU

1. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là mặt cầu tâm o bán kính r và thường được kí hiệu là S(0 ; r).

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và M là một điểm bất kì trong không gian.

Nếu OM = r thì ta nói điểm M nằm trên mặt cầu S(0 ; r).

Nếu OM < r thì ta nói điểm M nằm trong mặt cầu S(0 ; r).

Nếu OM > r thì ta nói điểm M nằm ngoài mặt cầu S(0 ; r).

2.Mặt cầu là một mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay quanh trục là đường kính AB của nửa đường tròn đó. Giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là đường kinh tuyến của mặt cầu. Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.

II. GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Cho mặt cầu S(O ; r) và mặt phẳng (P). H là hình chiếu vuông góc của o lên mặt phẳng (P). Khi đó OH = h là khoảng cách từ tâm o của mặt cầu tới mặt phẳng (P). Ta có các trường hợp :

Nếu h> r : mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu ;

Nếu h = r: mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm Ta có OH ⊥ (P);

Nếu h < r : mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính

Đặc biệt khi h = 0 mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính r’ = r.

 III. GIAO CỦA MẶT CẦU VỚI ĐƯỜNG THẲNG, TIẾP TUYẾN CỦA  MẶT CẦU

Cho mặt cầu S(O ; r) và đường thẳng A.

1. Trường hợp A đi qua tâm O của mặt cầu thì A cắt mặt cầu tại hai điểm A, B với AB = 2

2. Trường hợp A không đi qua tâm O của mặt cầu, ta gọi d là khoảng cách từ tâm o đến đường thẳng A, khi đó :

a) Nếu d < r, đường thẳng Δ cắt mặt cầu tại hai điểm M, N ;

b) Nếu d = r, đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm H

(H gọi là tiếp điểm và đường thẳng A được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu);

c) Nếu d > r, đường thẳng Δ không cắt mặt cầu.

Xem thêm:  Các dạng toán cơ bản về mặt cầu – Hình học 12

 Chú ý.

– Qua một điểm A bất kì trên mặt cầu S(0 ; r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến này đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu và đều nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O ; r) tại A. Mặt phẳng tiếp xúc này vuông góc với đường thẳng OA tại A.

– Qua một điểm M nằm ngoài mặt cầu S{0 ; r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đó. Khi đó độ dài các đoạn thẳng kẻ từ M đến các tiếp điểm đều bằng nhau. Tất cả các tiếp tuyến này tạo nên một mặt nón tròn xoay có đỉnh là M và có đường tròn đáy nằm trên mặt cầu.

IV. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU

Gọi S là diện tích mặt cầu bán kính r, ta có công thức :

 Chú ý.

Ta có diện tích hình tròn lớn của khối cầu bán kính r là   . Do đó ta cần lưu ý rằng   .

Người ta chứng minh được công thức tính thể tích V của khối cầu

bán kính r là :   .