Bài tập bổ trợ và nâng cao Toán 9
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
A. Ví dụ
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có A = 30°, B = 45°. Điểm M thay đổi trên ba cạnh của tam giác. Tìm vị trí của M để OM nhỏ nhất.
Giải:
Kẻ OI ⊥ AB tại I,
OH ⊥ AC tại H,
OK ⊥ BC tại K.
Xét ∆ABC có Â = 30°, B = 45° (gt)
=> góc C = 105° mà 105° > 45° > 30°
nên góc C > góc B > góc A => AB > AC > BC (quan hệ cạnh và góc trong tam giác).
Mà A,B,C ∈ (O)(gt) nên 0I < OH < OK (liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây).
Xét
M ∈ cạnh AB thì OM > OI,
M ∈ canh BC thì OM > OK,
M ∈ cạnh AC thì OM > OH.
Mà 0I < OH < OK (chứng minh trên) nên OM ≥ 0I. Dấu “=” xảy ra
<=> M = I, mà 0I ⊥ dây AB tại I nên I là trung điểm của AB => M ≡ I
<=> M là trung điểm của AB.
Vậy OM nhỏ nhất M là trung điểm của AB.
Ví dụ 2.
Cho (O ; 4cm), điểm I nằm trong hình tròn sao cho 01 = 2cm. Qua I vẽ hai dây AB và CD sao cho góc nhọn tạo bởi 0I với AB, CD lần lượt là 30°, 45°. Tính độ dài dây AB, CD.
Giải:
B. Bài tập cơ bản
Bài 3.1.
Cho hai đường tròn cùng tâm O. ∆ABC nội tiếp đường tròn nhỏ. Qua A, B, C lần lượt vẽ các dây DE, IH, MN của đường tròn lớn thứ tự vuông góc với OA, OB, So sánh độ dài các dây này.
Bài 3.2.
Cho đường tròn (O) và điểm A ở ngoài đường tròn. Vẽ tia Ax cắt (O) tại B, c và tia Ay cắt (O) tại D, E sao cho xÂO > yÂO. So sánh các dây DE và BC.
Bài 3.3.
Hai điểm A và B chuyển động trên (O) cố định sao cho dây AB có độ dài không đổi. Chứng minh rằng, khi đó trung điểm I của dây AB luôn chuyển động trên đường tròn cố định.
C. Bài tập nâng cao
Bài 3.4.
Cho (O ; R), A là điểm ở trong đường tròn. Vẽ đường tròn đường kính AO và lấy C là điểm bất kì trên đường tròn này. MN là dây cung của (O ; R) đi qua C và vuông góc với OC. Tìm vị trí của c để MN có độ dài nhỏ nhất.
Comments mới nhất