Hướng dẫn giải bài Góc nội tiếp – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Bài tập Góc nội tiếp

 

83.

a) Kẻ EF ⊥ AB. Từ hai tam giác vuông đồng dạng EFB và ACB ta có

BE.BC = AB.BF.                 (1)

Tương tự ta cũng có:

AE AD = AB.AF.                 (2)

Cộng từng vế (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

b) Gọi M là trung điểm của dây cần dựng thì M ‘thuộc đường tròn

này chứa dây cần dựng.

84.

Xét hai trường hợp vị trí của điểm D như ở hình a và hình b.

85.

Do đó P, O, Q thẳng hàng.

86.   

Kẻ đường vuông góc với AP tại A, trên đó đặt về hai phía AM = AN. Kẻ MM’ và NN’ song song với AP. Vẽ đường tròn đường kính M’N’ cắt AP ở K.

Kẻ PE // KM\ PF // KN’.

87.

88.

Cách 1. 

Gọi giao điểm của đường tròn đường kính AM với cạnh AB là E. Vì ,  =  nên ED cũng là đường kính, do đó  = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn),  = (như trên). Suy ra ba điểm C, N, E thẳng hàng. Xét hai tam giác vuông EBC và PCD có  =  = , BC = CD,  =  (cùng phụ với ). Do đó hai tam giác bằng nhau và ta có BE = CP.

Dễ thấy tứ giác EBCM là hình chữ nhật nên BE = CM. Vậy CP = CM và tam giác PCM cân ở C. Trong tam giác cân PCM, đường phân giác CA cũng là đường cao nên CA ⊥ PM.

Cách 2.

Gọi O là tâm của đường tròn đường kính CD, O’ là tâm của đường tròn đường kính AM. Ta có O’O ⊥ ND (đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau thì vuông góc với dây chung).

Kẻ AI ⊥ DN (I thuộc CD). Như vậy O’O // AI. Trong tam giác AMI, O’O đi qua trung điểm O’ của AM và song song với AI nên OM = OI mà OC = OD, suy ra CM = ID .        (1)

 

Hai tam giác vuông ADI và DCP có =  (cùng phụ với ), AD = DC, = = . Do đó, hai tam giác này bằng nhau và ta có ID = PC (2).

Từ (1) và (2), ta có CM = PC và tam giác PCM cân, đường phân giác CA cũng là đường cao nên CA ⊥ PM.

89.

Vậy N trùng I.

90.

Cách 1.

– Vẽ đường tròn đường  kính AB, tâm O.

– Gọi E là điểm chính giữa của cung AB. Kẻ đường thẳng EC cắt (O) ở F.

– Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua O.

– Đường thẳng E’F cắt xy tại điểm D phải xác định.

Cách 2.

– Qua A và B ta kẻ hai đường thẳng song song Am và Bn.

– Qua C kẻ một đường thẳng cắt Am tại F, cắt Bn tại E. Gọi I là điểm đối xứng với E qua B.

– Đường thẳng FI cắt xy tại điểm D phải xác định.

Chú ý.    Nếu C là trung điểm của AB thì D trùng với C. Bài toán không có nghiệm hình.