Hướng dẫn giải bài Cung chứa góc – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Bài tập Cung chứa góc Hình học 9

 

108.

a) Phần thuận

Kẻ đường kính EE’ ⊥ AB. Giả sử C chuyển động trên nửa đường tròn AEB.

Nối E với M.

Xét hai tam giác EOM và OCD, chúng có EO = OC (bán kính);  =  (góc so le trong); OM = CD (giả thiết).

Do đó ΔEOM = ΔOCD (c.g.c), suy ra  =  = .

Vậy M ‘nằm trên đường tròn đường kính OE.

Khi C chuyển động trên nửa đường tròn AE’B, cũng chứng minh tương tự, M nằm trên đường tròn đường kính OE’.

b) Phần đảo

Lấy M’ là một điểm bất kì trên đường tròn đường kính OE hoặc OE’. Kẻ bán kính OM’C’ của (O). Ta phải chứng minh khoảng cách C’D’ từ C’ đến AB bằng OM’. Dễ thấy ΔE’M’O = ΔOD’C’, suy ra OM’ = C’D’.

Kết luận. Quỹ tích các điểm M là hai đường tròn đường kính OE và đường kính OE’ (EE’ là đường kính vuông góc với đường kính AB của đường tròn (O)).

109.

Kẻ tiếp tuyến tại B cắt CD ở A’. Hãy chứng minh A’ là điểm cố định.

Quỹ tích các điểm C là nửa đường tròn đường kính BA’.

110.

Gọi P là tiếp điểm của (I) trên AB. Ta có ΔMIP là hình vuông,  =  =  nên ΔMIH = ΔPIH (c.g.c), suy ra  =                   (1)

Ta lại có  = .      (2)

Từ (1) và (2) suy ra  = , do đó bốn điểm N, H, I, P thuộc cùng một đường tròn. Các điểm N, P, I thuộc đường tròn đường kính BI. Vậy H cũng thuộc đường tròn đường kính BI.

111.

Cách 1.  

Dựng EF⊥ AM tại M sao cho ME = MF = AM/2.

 

Cách 2.

  Dựng AE ⊥ AM và AE = 2AM.

Cách 3. 

Từ trung điểm E của AM, dựng EF ⊥ AM và EF = 1/4AM .

 

Cách 4.

Dựng điểm E đối xứng với A qua M. Dựng trên AM cung chứa góc . Dựng trên ME cung chứa góc . Hai cung này cắt nhau ở điểm thứ hai C.

Cách 5. 

 

Dựng điểm G trên AM sao cho GM = 1/3AM .

Cung chứa góc  dựng trên AG cắt đường tròn đường kính AM ở B.

Chú ý. Bài toán có hai nghiệm hình đối xứng nhau qua AM.

112.

 

Trong ΔAIC, ta có :

Do đó I nằm trên cung chứa góc  vẽ trên AC (cùng phía với B đối với AC).

Gọi O là tâm của đường tròn chứa cung nói trên.