Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
A. Ví dụ
Ví dụ:
Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên By sao cho CO ⊥ OD. Chứng minh rằng :
a) Ax, By và CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB ;
b) Khi C thay đổi trên Ax thì đường tròn đường kính CD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Giải:
a) + Vì Ax ⊥ AB tại A (gt) nên Ax là tiếp tuyến của đường tròn đường O kính AB (dấu hiệu nhận biết).
+ Vì By ⊥ AB tại B (gt) nên By là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB (dấu hiệu nhận biết).
+ Gọi E là giao điểm của tia DO với tia đối của tia Ax.
Xét ∆AOE và ∆BOD có AO = OB (gt),
EÔA = BÔD (đối đỉnh)
và góc AE = góc OBD = 90° (gt)
=> ∆AOE = ∆BOD (g.c.g) => OE = OD mà ED ⊥ CO (gt)
=> CO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ∆CED
=> ∆CED cân tại C => CO là phân giác của ECD
=> O cách đều CD và CE => OH = OA = AB/2.
=> H thuộc đường tròn đường kính AB, mà OH ⊥ CD
=> CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB (dấu hiệu nhận biết).
b) Lấy M là trung điểm của CD. Vì ACOD vuông tại O (gt)
=>O ∈ đường tròn tâm M đường kính CD => OM là bán kính của đường tròn đường kính CD.
Vì Ax ⊥ AB và By ⊥ AB => Ax // By. Mặt khác, C ∈ Ax và D ∈ By => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang (dấu hiệu nhận biết). Ta có O là trung điểm của AB và M là trung điểm của CD
=> OM là đường trung bình của hình thang ACDB
=> OM // AC, mà AC ⊥ AB => OM ⊥ AB.
Ta có bán kính OM của đường tròn đường kính CD vuông góc với AB
=> AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD. Do AB cố định nên khi c di chuyển trên Ax, đường tròn đường kính CD luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định AB.
Chú ý :
Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R), cần lưu ý :
– Nếu a và đường tròn (O ; R) có điểm chung là A, ta chỉ cần chứng minh OA ⊥ a.
– Nếu a và đường tròn (O ; R) chưa có điểm chung thì kẻ OH ⊥ a rồi chứng minh OH = R.
B. Các bài tập cơ bản
Bài 5.1
Cho nửa đường tròn đường kính AB. c là một điểm thuộc nửa đường tròn. Vẽ dây BD là phân giác của góc ABC . BD cắt AC tại E. AD cắt BC tại G. H là điểm đối xứng với E qua D.
a) Tứ giác AHGE là hình gì ?
b) Chứng minh rằng AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
Bài 5.2
Cho nửa đường tròn (O ; R), AB là đường kính. Dây BC có độ dài R. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 3R. Chứng minh rằng AD là tiếp tuyến của đường tròn.
Bài 5.3
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH, CH. Chúng lần lưọt cắt AB, AC tại điểm thứ hai là E, F.
a) Tứ giác AEHF là hình gì ?
b) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của các đường tròn đường kính BH, CH.
C. Các bài tập nâng cao
Bài 5.4
Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A lên BD. M, N lần lượt là trung điểm của BH, CD. Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của đường tròn (A ; AM).
Bài 5.5
Cho xÔy, trên Ox lấy P, trên Oy lấy Q sao cho chu vi ∆POQ bằng 2a không đổi. Chứng minh rằng PQ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Comments mới nhất