Đáp án bài Cung chứa góc – Sách Bài tập Toán 9 Tập 2 phần Hình học

Đáp án bài Cung chứa góc

33. (h.48) Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có :

Cộng (1) và (2) vế với vế, ta có
       

Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 90° + /2 không đối nên quỹ tích của I là cung chứa góc 90° + /2 dựng trên đoạn thẳng BC (hai cung đối xứng nhau qua đường thẳng BC).

34. (h.49) Trình tự dựng như sau :

Dựng AB = 3cm ;

Dựng = 42° ;

Dựng Ay vuông góc với Ax tại A ;

Dựng đường trung trực d của AB ;

Gọi O là giao điểm của d và Ay.

Dựng cung tròn AmB tâm O bán kính OA.

Dựng cung tròn Am’B đối xứng với cung AmB qua đường thẳng AB.

35. (h.50) Trình tự dựng gồm các bước sau :

• Dựng đoạn thẳng BC = 3cm.

• Dựng cung chứa góc 45° trên đoạn thẳng BC (cung BmC).

• Gọi M là trung điểm của BC.

Dựng đường tròn tâm M, bán kính 2,5cm.

Đường tròn này cắt cung BmC tại A và A’.

Tam giác ABC (hoặc A’BC) là tam giác thoả

mãn yêu cầu đề bài (BC = 3cm, góc A = 45°, trung tuyến AM = 2,5cm).

36. (h.51)
a) Quỹ tích điểm D

• Phần thuận. Ta có :

AB cố định

= 45° (vì tam giác BCD vuông cân).

Vậy khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc 45° dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

• Giới hạn quỹ tích

Dây AC thay đổi phụ thuộc vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB cố định ; AC lớn nhất, bằng đường kính của nửa đường tròn, khi C trùng với B, khi đó D cũng trùng với B, vậy B thuộc quỹ tích. AC nhỏ nhất bằng 0 khi
C trùng với A, khi đó D trùng với ( là giao điểm của cung chứa góc 45° và tia tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn).

• Phần đảo. Lấy điểm D’ tuỳ ý trên cung B , nối AD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C. Khi đó ta dễ dàng chứng minh được C’D’ = C’B.

• Kết luận. Quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn là cung B  nằm trên cung chứa góc 45° dựng trên đoạn thẳng AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C (bị giới hạn bởi tiếp tuyến Ax).

b) Quỹ tích điểm E

• Phần thuận. Ta có :

AB cố định

= 135° (góc ngoài của tam giác vuông cân BCE).

Vậy khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc 135° dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

• Phần đảo

Lấy điểm E’ bất kì trên cung chứa góc 135°. Tia AE’ cắt nửa đường tròn tại C. Vì  là góc ngoài của tam giác vuông BCE’, mà = 135°, suy ra = 45°, từ đó tam giác BC’E’ là tam giác vuông cân và C’E’ = C’B.

• Kết luận. Quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn là cung chứa góc 135° dựng trên đoạn thẳng AB (một cung).

37. (h 52)

• Phần thuận

Vẽ OP vuông góc với AB (P thuộc nửa đường tròn). Nối P với D. Xét hai tam giác OPD và COH, chúng có :

OD = CH (theo giả thiết)

OP = OC (bán kính nửa đường tròn) 

POD = OCH (hai góc so le trong). 

Vậy ΔOPD = ΔCOH (c.g.c), suy ra = 90°.

Mà O, P cố định. Vậy điểm D nằm trên đường tròn đường kính OP.

• Phần đảo

Lấy điểm D’ bất kì trên đường tròn đường kính OP, tia OD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C. Hạ đường vuông góc C’H’ với AB. Ta phải chứng minh OD’ = CH’.

Xét hai tam giác vuông OD’P và C’H’O. Chúng có cạnh huyền bằng nhau (OP = OC’ bằng bán kính nửa đường tròn đã cho) và một góc nhọn bằng nhau (POD’ = OC’H’ vì ở vị trí so le trong), vậy ΔOD’P = ΔC’H’O, suy ra OD’ = CH’. 

• Kết luận

Quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP, với OP = AB/2.

38. Phân tích (h.53).

Giả sử đã dựng được hình vuông thoả mãn yêu cầu của đề bài. Ta có thể quy bài toán về việc dựng đỉnh C. Đỉnh C là giao điểm của :

– Cung chứa góc 90° dựng trên đoạn thẳng MN (vì = 90° mà BC chứa M, CD chứa N).

– Cung chứa góc 45° dựng trên đoạn thẳng AM.
(vì đường chéo AC cũng là đường phân giác nên =45° mà CB lại chứa M).

Cách dựng

– Dựng cung chứa góc 90° trên đoạn thẳng MN.

– Dựng cung chứa góc 45° trên đoạn thẳng AM.

Giao điểm của hai cung trên chính là đỉnh C của hình vuông.

Nối C với M, nối C với N, kẻ AB vuông góc với MC, kẻ AD vuông góc với CN Ta có tứ giác ABCD là hình vuông phải dựng.

Bài tập bổ sung

6.1. Có thể dựng cung chứa góc 60° trẽn đoạn thẳng AB theo cách được học trong SGK hoặc theo cách tương tự bài tập 46 trong SGK.

Vì bài này có góc đặc biệt là 60° nên có thể làm theo cách sau :

– Dùng AB làm cạnh dựng một tam giác đều ABC (h.bs.19).

– Dựng đường trung trực của hai cạnh, chẳng hạn AB và AC. Khi đó xác định được điểm O sao cho OA = OB – OC.

– Lấy O làm tâm vẽ đường tròn bán kính R = OA, đường tròn này đi qua 3 điểm A, B, C.

Vì = 60° nên cung (lớn) AB là cung chứa góc 60°. 

Lấy đối xứng qua đường thẳng AB, ta được cung chứa góc thứ hai thỏa mãn bài toán.

Chú ý : Cung nhỏ AB trong cách dựng trên là cung chứa góc 120°.

6.2. Xem hình vẽ (h.bs.20).

Ta có : hai điểm O, A và đường tròn (O) d cố định ; các độ dài R, OA không đổi ; đường thẳng d di động kéo theo hai điểm B, C di động, kéo theo điểm I di động ; I là điểm sinh quỹ tích.

Vì OBC là tam giác cân (OB = OC = R) nên OI vuông góc với BC.

Như vậy, điểm I di động, luôn nhìn hai điểm O, A cố định dưới góc vuông, do đó quỹ tích I là đường tròn đường kính AO.

6.3. Trước hết cần làm xuất hiện tổng MA + MB + MC, sau đó tìm điều kiện để tổng ấy là nhỏ nhất.

Lấy MC làm cạnh, dựng tam giác đều MCN (h.bs.21), khi đó MC = MN.

Lấy AC làm cạnh dựng tam giác đều ACP
(h bs.22), khi độ AC = PC. 

Đồng thời + = 60° = + , suy ra = .

Do đó, CMA và CNP là hai tam giác bằng nhau (p.g.c), suy ra :

MA = NP và = .

Từ đó : MA + MB + MC = NP + MB + MN

Do B, P cố định khi cho trước tam giác ABC nên BM + MN + NP ngắn nhất khi và chỉ khi 4 điểm B, M, N, P thẳng hàng.

Do = 60° nên 3 điểm B, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi = 120°.

Tương tự, do = 60° nên 3 điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi = 120°.

Vậy MA + MB + MC nhỏ nhất khi và chỉ khi = 120° và = 120°.

Suy ra M là giao điểm của hai cung chứa góc 120°, tương ứng dựng qua hai điểm B, C và C, A (h.bs.22).

>> Xem thêm bài Tứ giác nội tiếp tại đây.