Các dạng toán về bội và ước của một số nguyên – Toán lớp 6

Các dạng toán về bội và ước của một số nguyên – Toán lớp 6

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

1. Định nghĩa:

Số nguyên a là bội của số nguyên b (b ≠ 0 ) nếu có số nguyên q sao cho : a = bq.

Với a,b,q ∈ Z, b ≠ 0 :

a = bq   ⇔  a chia hết cho b (a:b)

a = bq   ⇔   a là bội của b.

a = bq   ⇔  b là ước của a.

2. Tính chất:

a) Nếu a là bội của b và b là bội của c thì a là bội của c : a chia hết cho b và b chia hết cho c

=> a chia hết cho c

b) Nếu a là bội của b thì am cũng là bội của b (với mọi m ∈ Z):

Với mọi m ∈ Z :  a chia hết cho b => am chia hết cho  b

c) Nếu a và b là bội của c thì tổng và hiệu của chúng cũng là bội của c :

a chia hết cho c và b chia hết cho c => (a + b) chia hết cho c và (a – b) chia hết cho c.

B. CÁC DẠNG TOÁN.

Dạng 1. TÌM CÁC BỘI CỦA MỘT SỐ NGUYÊN CHO TRƯỚC

Phương pháp giải

Dạng tổng quát bội của số nguyên a là am (m  ∈ Z).

Ví dụ 1. (Bài 101 trang 97 SGK)

Tìm năm bội của : 3 ;  – 3.

Giải

Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng 3.m (m ∈ Z ), nghĩa là :

0 ; – 3 ; 3 ; -6 ; 6 ; -9 ; 9 ;…

Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là : 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15.

Dạng 2. TÌM TẤT CẢ CÁC ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN CHO TRƯỚC

Phương pháp giải

– Nếu số nguyên đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ, ta có thể nhẩm xem nó chia hết cho những

số nào để tìm ước của nó nhưng cần nêu đủ các ước âm và ước dương.

– Nếu số nguyên đã cho có giá trị tuyệt đối lớn, ta thường phân tích số đó ra thừa số

nguyên tố  rồi từ đó tìm tất cả các ước của số đã cho.

Ví dụ 2. (Bài 102 trang 97 SGK)

Tìm tất cả các ước của – 3 ; 6 ; 11 ; -1.

Giải

Kí hiệu Ư(a)  là tập hợp các ước của số nguyên a, ta có :

Ư(-3) = {-1 ; 1 ; – 3 ; 3} hoặc viết gọn là  :   Ư(- 3) = {±1; ±3} ;

Ư(6) = {±1; ±2; ±3; ±6 } ;  Ư(11) = {±1; ±11} ;     Ư(-1) = {±1}.

Ví dụ 3. Tìm tất cả các ước của 36.

Giải

Phân tích 36 ra thừa số  nguyên tố : 36 = 2².3² .

Để tìm tất cả các ước của 36 không bị sót, bị trùng, ta có thể làm như sau :

Ta viết :

2°        2¹             2²     hay           1       2          4

3°         3¹            3²      hay           1        3         9.

Các ước nguyên dương    của    36    là         :

1               2               4

1.3           2.3           4.3

1.9           2.9            4.9.

Tất cả có 9 ước  nguyên dương là:   1    ; 2 ; 4 ; 3 ; 6 ; 12 ; 9 ; 18 ; 36.

Tập hợp tất cả các ước nguyên của 36 là :

Ư(36) = {±1; ± 2; ± 3; ± 4 ; ± 6; ± 9; ± 12; ± 18; ± 36}.

Dạng 3. TÌM số CHƯA BIẾT X TRONG MỘT ĐẲNG THỨC DẠNG a.x = b

Phương pháp giải

Trong đẳng thức dạng a.x = b (a,b ∈ Z , a  ≠  0) ta tìm x như sau :

Tìm giá trị tuyệt đối của x : |x| =    .

Xác định dấu của x theo quy tắc đặt dấu của phép nhân số nguyên.

Chẳng hạn : – 7.x = – 343. Ta có : |x| =  343 / 7 = 49

Vì tích – 343 là số âm nên x trái dấu với – 7. Vậy : x = 49.

Ví dụ 4. (Bài 104 trang 97 SGK)

Tìm x, biết:

a) 15x = – 75 ;                     b)  3|x| = 18  .

Đáp số

a) x  = – 5 ;                    b) |x| = 6 => x = 6 hoặc x = – 6.

Dạng 4. TÌM SỐ BỊ CHIA, SỐ CHIA, THƯƠNG TRONG MỘT PHÉP CHIA

Phương pháp giải 

Nếu a = bq thì ta nói a chia cho b được q và viết a : b = q.

Nếu a = 0, b ≠ 0 thì a : b = 0.

Ví dụ 5. (Bài 105 trang 97 SGK)

Điền số vào ô trống cho đúng :

Giải

Dạng 5. CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT VỀ SỰ CHIA HẾT

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa a = b.q <=>  a chia hết cho b (a,b,q ∈ Z , b  ≠ 0) ,và các tính chất giao

hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Ví dụ 6. Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b thì – a chia hết cho b và – b.

Giải

a chia hết cho b => a = b.q (q ∈ Z ) => -a = b.(-q) .Do -q ∈ Z  nên -a chia hết cho b.

Ta cũng có : -a = -b.q nên -a  chia hết cho -b.

Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m và n, nếu a và b chia hết cho c thì am + bn

chia hết cho c.

Giải

Ta có :  a chia hết cho c =>  am chia hết cho c (với mọi m ∈ Z )        (1)

b  chia hết cho  c => bn chia hết cho c (với mọi n ∈ Z)                        (2)

Từ (1), (2) suy ra : (am + bn) chia hết cho c.

Dạng 6. TÌM số NGUYÊN X THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất : Nếu a + b chia hết cho c và a chia hết cho c thì b chia hết cho c.

Ví dụ 8. Tìm x ∈ Z sao cho :

a) 3x + 2 chia hết cho x – 1 ;

b) x² + 2x – 7 chia hết cho x + 2.

Giải

a) Ta có : 3x + 2 = 3x – 3 + 5 = 3(x -1) + 5.

3(x – 1) chia hết cho x – 1. Do đó 3x + 2 chia hết cho x – 1 khi 5 chia hết cho x -1, tức là x – 1 là

ước của 5. Ước của 5 gồm các số ±1, ± 5. Suy ra x ∈   {0 ; 2 ; – 4 ; 6}.

b) x² + 2x – 7 = x(x + 2) – 7 . Ta tìm x để 7 chia hết cho x + 2.

Đáp số : x ∈   {-3 ; — 1 ; — 9 ; 5}.

Ví dụ 9. (Bài 103 trang 97 SGK)

Cho hai tập hợp số : A = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, B = {21 ; 22 ; 23}.

a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng (a + b) với a ∈ A, b ∈  B ?

b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia ết cho 2 ?

Giải

a) Ta lập bảng cộng sau :

Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau : 23, 24, 25, 26,

27, 28, 29.

b) Có 7 tổng chia hết cho 2 là : 24 , 24 , 26 , 26 , 26 , 28 , 28.

(Có 3 tổng khác nhau chia hết cho 2 : 24 , 26 , 28).

Ví dụ 10. (Bài 106 trang 93 SGK)

Có hai số nguyên a, b khác nhau mà  chia hết cho b và b chia hết cho a không ?

Giải

a chia hết cho b => a = bq₁ (q_{1 ∈ Z} , b  ≠  0) ; b chia hết cho a => b = aq₂ (q_{2 ∈ Z}  , a  ≠ 0)

Suy ra : a = bq1= (aq₂)q₁ = a(q₂q₁) => q₂q₁ = 1 ,

=> q₂ = q₁ = 1 hoặc q₂ = q₁ = -1.

Vì a  ≠  b nên q₂ = q₁ = -1. Do đó : a =  b (-1) = – b.

Vậy, mọi cặp số nguyên đối nhau  và khác  0 đều có tính chất

a chia hết cho (-a) và (-a) chia hết cho a và chỉ những cặp sốđó.

>> Phần tiếp theo:

Luyện tập về bội và ước của một số nguyên – Toán lớp 6