Bài tập ôn chương III – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Bài tập ôn chương III Hình học 9

 

Kiến thức cần nhớ:

Ví dụ 35

Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta kẻ hai tia tạo với nhau một góc . Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo BD tại P, tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo BD tại Q.

a) Chứng minh rằng năm điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng  = .

c) Kẻ đường trung trực của cạnh CD cắt AE tại M. Tính số đo góc MAB biết rằng = . 

Giải:

a) Cách 1. A và B nhìn đoạn QE dưới cùng một góc nên tứ giác ABEQ nội

tiếp được một đường tròn. Do đó FQE = ABE = .

Chứng minh tương tự ta có FPE = .

Như vậy ba điểm Q, P, C cùng nhìn đoạn FE dưới một góc vuông nên năm điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên đường tròn đường kính FE.

Cách 2. Hai tam giác BEP và AQP có hai cặp góc bằng nhau. Suy ra = . Do A và C đối xứng với nhau qua BD nên  = . Do đó = . nên tứ giác EPQC nội tiếp được một đường tròn. Chứng minh tương tự ta có tứ giác FQPC cũng nội tiếp được. Từ đó suy ra năm điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đường tròn.

b) Theo cách 1 câu a) ta có = , ta lại có  = nên ΔQAE vuông cân, suy ra AE/AQ = .                  (1).

Tương tự, ΔAPF vuông cân, suy ra AF/AP = .                  (2).

Từ (1) và (2) suy ra ΔAQP đồng dạng với ΔAEF (c.g.c).

Do đó / =  hay = .

c) Dễ thấy tứ giác CPMD nội tiếp, MC = MD và = .  

Ta có = (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung). Suy ra  = = = = , dẫn đến MD = CD. Do đó MCD là tam giác đều, suy ra = = . APD là góc ngoài ở đỉnh P của ΔABP có 

= . Vậy   = – = .

Ví dụ 36

Trong đường tròn (O ; R) ta vẽ hai đường tròn (; ) và (; ) tiếp xúc nhau ở O. Vẽ tiếp hai đường tròn () và (), mỗi đường tròn đều tiếp xúc với hai đường tròn (), () và đường tròn (O).  

a) Tính bán kính của các đường tròn () và () theo R.

b) Tính tỉ số diện tích của phần gạch sọc và diện tích hình tròn (O).

c) Chứng minh rằng , là hình thoi, độ dài cạnh và các đường chéo của nó tỉ lệ với 5 : 6 : 8.

Giải

a) Dễ thấy rằng hai đường thẳng  và  vuông góc với nhau tại O. Trong tam giác vuông O, theo định lí Pi-ta-go ta có

 

BÀI TẬP

164. Cho đường tròn (O) và một góc nội tiếp  = α ( < α < ). Bằng hai nét vẽ (đường thẳng hoặc cung tròn) hãy dựng :

a) Một góc bằng α ;

b) Một góc bằng 2α ;

c) Một góc bằng – α ;

d) Một góc bằng – α ;

e) Một góc bằng – 2α.

165. a) Chứng minh rằng tích hai cạnh của một tam giác thì bằng tích của chiều cao tương ứng với cạnh thứ ba và đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

b) Một tam giác có a, b, c là độ dài ba cạnh, R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, s là diện tích của tam giác đó. Chứng minh rằng S = abc/4R.

166. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm c. Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB các nửa đường tròn đường kính AB, AC và BC. Kẻ GD vuông góc với AB (D thuộc nửa đường tròn đường kỉnh AB). Chứng minh rằng diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn bằng diện tích hình tròn đường kính CD.

167. “Hình trăng khuyết Hi-pô-crat”.

Lấy ba cạnh của tam giác vuông ABC làm đường kính, ta vẽ ba nửa đường tròn (xem hình vẽ). Chứng minh rằng tổng các diện tích hai hình trăng khuyết (phần có gạch sọc) thì bằng diện tích tam giác ABC.

168*. Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Gọi o và O’ là tâm của các đường tròn nội tiếp các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng OO’ cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh rằng AM = AN.

169. Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, góc A bằng α (không đổi). Kẻ BM và CN vuông góc với tia phân giác của góc A (M, N nằm trên tia phân giác ấy). Tìm quỹ tích :

a) Các điểm M, N ;

b) Trung điểm của đoạn thẳng MN.

170. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Một điểm D chuyển động trên cung BC (không chứa A). Nối A với D. Từ C kẻ đường vuông góc với AD, cắt AD tại H và cắt BD tại G.

a) Tìm quỹ tích các điểm H.

b) Tìm quỹ tích các điểm G.

171. Cho tam giác ABC. Hãy tìm trên đường thẳng AC một điểm M sao cho tổng các bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABM và CBM là nhỏ nhất.

Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.