Bài ôn tập chương III ( tiếp theo) – Sách bài tập Toán 7 tập II

Bài ôn tập chương III ( tiếp theo) – Sách bài tập Toán 7 tập II

Phần A: ĐỀ BÀI. 😛 😛 😛

 LỜI GIẢI, CHỈ DẪN HOẶC ĐÁP SỐ:   

Bài 82.

(h. 98)

a) ∆ABC có AB < AC nên

góc ACB < góc  ABC.                                                   (1)

∆ABM có AB = BM nên là tam giác cân.

Suy ra góc M = góc  A₁. Ta lại có góc M + góc A1 = góc ABC (góc ngoài của ∆ABM) nên

góc M = 1/2 góc ABC.                                                  (2)

Chứng minh tương tự,    góc N = 1/2 góc ACB.        (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra :  góc N < góc M

b) ∆ AMN có góc N < góc M nên AM < AN.

Bài 83.

(h. 99) Xét các đường  xiên kẻ từ A đến BC :

Đường xiên AB < AC nên hình chiếu HB < HC.

– Nếu B nhọn (h.99a) thì góc B + góc A₁ = góc C + góc A₂ (cùng bằng 90°).

Xét ∆ABC : AB < AC nên góc C < góc B. Do đó góc A₂ >  góc A1 tức là góc HAB < góc HAC.

Nếu góc B tù (h.99b) thì B nằm giữa H và c nên góc HAB < góc HAC .

Bài 84.

Ta biết rằng mỗi cạnh của tam giác phải nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.

– Nếu cạnh lớn nhất của tam giác có độ dài 5cm thì  hai  cạnh kia có độ dài : 2cm, 4cm ; hoặc 3cm,

4cm.

– Nếu cạnh lớn nhất của tam giác có độ dài 4cm thì hai cạnh kia có độ dài : 2cm, 3cm.

– Cạnh lớn nhất của tam giác không thể có độ dài 3cm.

Vậy có ba tam giác với độ dài cạnh là :

5cm, 2cm, 4cm ;

5cm, 3cm, 4cm ;

4cm, 2cm, 3cm.

Bài 85.

(h. 100)

Xét M là một điểm tuỳ ý. Ta luôn có :

MA + MC ≥ AC (xảy ra dấu bằng nếu M thuộc đoạn thẳng AC).

MB + MD ≥  BD (xảy ra dấu bằng nếu M thuộc đoạn thẳng BD).

Do đó :

MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD (xảy ra dấu bằng nếu M là giao điểm của các đoạn thẳng AC và

BD).

Như vậy : Tổng MA + MB + MC + MD nhỏ nhất bằng AC + BD khi M là giao điểm của AC và BD.

Bài 86.

(h. 101)

a) Theo tính chất của trọng tâm tam giác :

AG = 2GM.

Suy ra S_AGC = 2S_GMC (vì đáy AG = 2GM, chung chiều cao kẻ từ C).

b) S_GMB = S_GMC (vì đáy BM = MC, chung chiều cao kẻ từ G).

c) ở câu a) ta có : S_AGC   ⁼ S_GMC 

Tương tự ta có :  S_AGB    ⁼ S_GMB  

Ta lại có:  S_GMC    =  S_GMB    (câu b)) nên S_AGC   = S_AGB   = S_BGC

Bài 87.

(h. 102)

a)  Điểm  nằm  trong  góc  xOy  cách  đều  Ox  và Oy  nằm   trên  tia phân

giác Ot của góc xOy.

Điểm cách đều A và B nằm trên đường trung trực d của AB.

Điểm M phải tìm là giao điểm của tia Ot và đường thẳng d.

b) Nếu OA = OB thì tia Ot nằm trên đường thẳng d nên có vô số điểm M thoả mãn các điều kiện trong câu a).

Bài 88.

(h. 103)

– Dùng thước có chia khoảng, lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộe tia Oy sao cho OA = OB.

– Kẻ đoạn thẳng AB.

– Dùng thước có chia khoảng, lấy điểm M là trung điểm của AB.

– Kẻ tia OM.

Giải thích : ∆AOB cân tại O, OM là trung tuyến nên OM là tia phân giác của góc xOy.

Bài 89.

(h. 104)

Kẻ AH ⊥ a, HA cắt đường thẳng b tại B.

Kẻ AK ⊥ b, KA cắt đường thẳng a tại C.

Kẻ AI ⊥ BC. Đường thẳng AI sẽ đi qua  điểm O.

Giải thích : Xét ∆OBC, BH và CK là các đường cao, chúng cắt nhau tại A nên A là trực tâm của tam

giác. Ta lại có: AI ⊥ BC nên AI nằm trên đường cao đi qua O.

Bài 90.

(h. 105)

a) Giải tương tự như bài 57, ta có MA < MB.

b) Giải tương tự như câu a), ta có NB < NA.

c) Nếu K nằm trong P_B thì theo câu b) ta có

KB < KA, trái với đề bài.

Nếu K nằm trên d thì KA = KB, trái với đề bài.

Vậy K nằm trong P_A.

Bài 91.

(h. 106)

a) E thuộc tia phân giác của góc CBH nên EG = EH.

E thuộc tia phân giác của góc BCK nên EG = EK.

Vậy EH = EG = EK.

b) EH = EK => AE là tia phân giác của góc BAC.

c) AE là tia phân giác của góc trong tại A của ∆ABC, AF là tia phân giác của góc ngoài tại A của ∆ABC

nên AE ⊥ AF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù).

d) Theo câu b), AE là đường phân giác của góc A. Tương tự BF là đường phân giác của góc B, CD là

đường phân giác của góc Các đường thẳng AE, BF, CD là các đường phân giác của ∆ABC.

e) Theo câu c), EA là đường cao của ∆DEF. Tương tự FB và DC cũng là đường cao của ∆DEF. Vậy EA,

FB, DC là các đường cao của ∆DEF.

BÀI TẬP BỔ SUNG:

Bài III.1.

Vì đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh lần lượt là đường vuông góc và

đường xiên kẻ từ cùng một điểm đến cùng một đường thẳng nên ta có điều phải chứng minh.

Bài III.2.

(h.bs.31)

BC < 2AC nếu 1/2BC = CD < AC.

Xét tam giác ADC. Có góc D1 = góc G1 + góc B1.

Theo giả thiết góc G1 = 90° nên D1 là góc tù.

Cạnh AC đối diện với góc D1 nên là cạnh lớn nhất, vậy AC > DC hay 2AC > 2DC = BC.

Bài III.3.

(h.bs.32)

Để chứng minh góc BOG = góc COD, ta chứng minh góc BOD = góc GOC.

Xét tam giác OAB, ta có :

góc BOD =1/2.(góc A + góc B) = 1/2(180° – góc C).              (1)

Xét tam giác vuông OCG, ta có:

góc GOC = 90° – 1/2 góc C = 1/2(180° – góc C). (2)

Từ (1) và (2) suy ra góc BOD = góc GOC. Vậy góc BOG = góc COD.

Bài III.4.

(h.bs.33)

Xét tam giác vuông AHB. Ta có

góc ABH = 180° -112° = 68° ;

góc A1= 90° – góc ABH = 90° – 68° = 22°.

Tam giác ABC cân tại B có góc B = 112° nên

BÂC = (180° -112°) : 2 = 34°

Do đó Â 2 = 34° : 2 = 17°. Từ đó suy ra:

góc HAD = Â1+ Â2 = 22° + 17° = 39° ;

góc HDA = 90° – HÂD = 90° – 39° = 51°. 

Bài III.5.

(h.bs.34)

Gọi giao điểm của CM và AB là C1. Ta cần chứng minh CC1 ⊥ AB và C1  là trung điểm của đoạn

thẳng AB. Vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy nên CM hay CC1 vuông góc với AB. Hai

tam giác vuông CC1A và CC1B bằng nhau vì có góc A = góc B, CA = CB nên

C1A = C1B, hay C1 là trung điểm của AB. Vậy  MC là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài III.6.

(h.bs.35)

Xét tam giác A’BC. Vì AC là đường trung trực của BB’ nên có C1 =C2. Vì AB là đường

trung trực của CC’ nên góc B1 = góc B2. Suy ra AB, AC lần lượt là đường phân giác của các góc A’BC

và A’CB. Vậỵ ba đường phân giác của tam giác A’BC đồng quy tại A, hay A là điểm nằm trong tam

giác A’BC và cách đều ba cạnh của tam giác này.

Bài III.7.

(h.bs.36)

Hai tam giác vuông ABH và EAI bằng nhau vì có AB = EA, góc BAH = góc AEI (cùng phụ với góc

EAI). Tương tự hai tam giác vuông ACH và GAJ bằng nhau. Suy ra EI = AH = GJ.

Mặt khác, góc IKG = góc IKE (đối đỉnh), do đó ∆EKI = ∆GKJ.

Từ đó ta có EK = GK, hay K là trung điểm của EG.

Vậy AK là trung tuyến của tam giác AEG.

b) Theo a) ∆EKI = ∆GKJ nên KI = KJ. Mặt khác, theo giả thiết K là trung điểm của AL nên AI = LJ. Ta có

AL = AJ + JL = AJ + AI = HC + HB = BC.

c) Hai tam giác ALB và BÇD bằng nhau và có AL = BC, AB = BD

và BÂL = 90° + EÂL = 90° + ABC = góc DBC.

Suy ra góc ALB= góc BCD. Mặt khác ta có góc ALB + góc LBH = 90°

nên góc BCD + góc LBH = 90°, suy ra LB ⊥ CD,

tức CD là một đường cao của tam giác LBC.

d) Lập luận tương tự câu c), ta có BF là một đường cao của tam giác LBC.

Vậy ba đường thẳng AH, BF, CD là ba đường cao của tam giác LBC nên chúng đồng quy.

Bài III.8.

(h.bs.37)

a) Ta có ∆BDF = ∆EFD (g.c.g).

Suy ra BD = EF. Theo giả thiết, D là trung điểm của BC nên CD = DB = EF.

Hai tam giác CDE và EFA bằng nhau vì CD = EF,

góc CDE = góc CBA = góc  EFA và góc ECD = góc AEF (các góc đồng vị).

Suy raCE = EA.

b) Gọi D là trung điểm của BC, E là trung điểm của Theo câu a) đường thẳng qua D, song song với

AB phải cắt AC tại trung điểm của AC nên đường thẳng đó phải đi qua E, hay DE//AB.

c) Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Đường trung trực của BC phải vuông góc với

EF (vì EF//BC), hay nó là một đường cao của tam giác DEF. Suy ra ba đường trung trực của tam giác

ABC là ba đường cao của tam giác DEF. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (giao điểm

của ba đường trung trực của tam giác ABC) là . trực tâm của tam giác DEF