Bài ôn tập cuối năm – Toán bồi dưỡng lớp 9 – Hình học

Bài ôn tập cuối năm Hình học 9

 

Ví dụ 41

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB < AC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D, ta vẽ hai đường tròn () và () theo thứ tự tiếp xúc với AB tại B và tiếp xúc với AC tại C. Gọi M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này.

a) Trình bày cách vẽ hai đường tròn () và ().

b) Chứng minh rằng điểm M cũng nằm trên đường tròn (O).

c) Khi điểm D chuyển động trên cạnh BC nhưng không trùng với B hoặc C, chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua một điểm cố định.

d) Gọi E là điểm chính giữa của cung BC, AE cắt BC tại F. Chứng minh rằng AE . AF = AB . AC.

e) Trên tia đối của tia BC, lấy một điểm P. Giả sử PO = 19 cm, bán kính của đường tròn (O) bằng 14 cm và đoạn BC dài hơn đoạn PB là 19 cm. Hãy tính độ dài PC.

Giải  

a)

– Dựng đường trung trực của BD.

– Dựng đường thẳng vuông góc với AB tại B.

– Oị là giao điểm của hai đường trên.

– Dựng đường tròn tâm  bán kính .

Đường tròn () cũng dựng tương tự.

b) Trong đường tròn () ta có ABD = BMD (cùng có số đo bằng nửa số đo cung BD).

Tương tự, trong đường tròn (02), ta có = .  Trong ΔABC,  +  + = suy ra  +  +  =  hay  +  = . Do đó, tứ giác ABMC nội tiếp được, tức là điểm M cũng nằm trên đường tròn (O).

c) Gọi I là giao điểm của đường thẳng MD và đường tròn (O). Ta có  =  +  =  + = . Ta lại có  =  (góc nội tiếp cùng chắn cung AM). Do đó, =  , nghĩa là AI // BC.

Tam giác ABC cho trước và AI // BC nên I là điểm cố định (I là giao điểm của đường thẳng đi qua A song song với BC và đường  tròn ngoại tiếp  ΔABC   ).

c) Ta có ΔAEB đồng dạng với ΔACF (vì = ,  = ).

Do đó AE/AC = AB/AF hay AE.AF = AB.AC.

e) Kẻ tia PO cắt đường tròn (O) tại H và K (H nằm giữa p và O). Gọi độ dài PC là x (x > 0). Ta có PB.PC = PH.PK (do ΔPBK đồng dạng với ΔPHC), tức là

                             

Từ đó ta có phương trình  – 19x – 330 = 0.

Giải ra ta được nghiệm x = 30 là thích hợp.

Vậy độ dài PC là 30 cm.

BÀI TẬP

193. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15 cm, BC = 25 cm. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đường kính AC ở D. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) ở N, cắt BC ở E.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính chu vi tam giác ADB.

c) Chứng minh rằng ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.

d) Gọi I là trung điểm của MN, chứng minh rằng  = .

194. Trên hai cạnh Ax và Ay của góc vuông xAy, ta lấy lần lượt các điểm B và C sao cho AB = AC. M là một điểm nằm giữa B và C. Vẽ đường tròn () đi qua M và tiếp xúc với Ax tại B. Vẽ đường tròn () đi qua M và tiếp xúc với Ay tại C. Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai N.

a) Chứng minh rằng đường thẳng N tiếp xúc với đường tròn ().

b) Khi điểm M chuyển động trên đoạn CB, tâm của hai đường tròn đó chuyển động trên những đường nào ?

c) Gọi D là giao điểm của B và C. Chứng minh rằng năm điểm A, B, N, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

d) Chứng minh rằng tổng hai bán kính của hai đường tròn () và () bằng một độ dài không đổi.

e) Hai tia phân giác của các góc xAy và ABC cắt nhau ở E, cắt BC ở P, cắt Ay ở Q. Chứng minh rằng PE/EA = AQ/QC.

195. Cho tam giác vuông cân ABC (BA = BC) nội tiếp đường tròn (O). Trên cung AC chứa đỉnh B, lấy một điểm D tuỳ ý. Trên tia đối của tia DA, lấy một điểm E sao cho DE = DC.

a) Tìm quỹ tích các điểm E.

b) Chứng minh rằng AD + DC ≤ 2AB. Từ đó, hãy tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nhất trong các hình chữ nhật nội tiếp đường tròn (O).

196. Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 2α ( < α < ) và AC = 2R. Vẽ nửa đường tròn tâm o đường kính AC ở phía ngoài tam giác ABC. Gọi D là một điểm trên nửa đường tròn sao cho  = α . Kẻ DK vuông góc với AC và DH vuông góc với BA.

1) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo R và a rồi sau đó theo R và 2a. Từ đó chứng minh các hệ thức

2) Cho α = ; R = 6 cm.

a) Chứng minh rằng BC.CD = 144 ().

b) Tính diện tích tam giác ACD rồi từ đó suy ra diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích của phần nửa hình tròn đường kính AC ở ngoài tam giác ACD.

Xem hướng dẫn giải bài tập tại đây.