Bài 8 trang 91 sách giáo khoa Hình học 12

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x+y+z–1=0

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

b)Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).

Hướng dẫn giải

a) Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (α), vectơ pháp tuyến =  = (1; 1; 1) là vectơ chỉ phương của ∆ nên ∆ có phương trình tham số là:

Toạ độ H là nghiệm của hệ phương trình:

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:

1 + t + 4+t + 2+t-l = 0 <=> 3t + 6 = 0 <=> t = -2.

Khi đó thì x = -1; y = -2; z = 0. Vậy H(-l; 2; 0).

b) Gọi M'(x; y; z) là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (α), thì hình chiếu vuông góc H của M xuống mặt phẳng (α) chính là trung điểm của MM’.

Ta có:

Vậy M’ (-3; 0; 2).

c) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) bằng hai cách sau:

Cách 1:                                               

Áp dụng công thức ta có:

Cách 2:

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) chính là khoảng cách MH: