Hướng dẫn giải bài 2 trang 89 sách giáo khoa Hình học 12

Bài 2 trang 89 sách giáo khoa Hình học 12

lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) (Oxy)

b) (Oyz)

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy).

Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.

Ví dụ ta lấy M1(2; -3; 1) và M₂(0; -7; -5) cùng thuộc d. Hình chiếu vuông góc trên (Oxy) của M1 là điểm N1(2; -3; 0), của M₂ là điểm N₂(0; -7; 0).

Đường thẳng A đi qua N1 và N2 chính là hình chiếu vuông góc của d trên (Oxy).

Vậy phương trình tham số của Δ là:Ta có:  (-2; -4; 0) // (l; 2; 0).

Vậy phương trình tham số của  Δ là: 

Cách 2:

Xét mặt phẳng (P) đi qua d và vuông góc với (Oxy). Khi đó Δ = (P) ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).

Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng z = 0; vectơ pháp tuyến của (Oxy) là  = (0; 0; 1). Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là = (1; 2; 3). Như vậy ,  là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

Suy ra vectơ n = [, ] = (2; -1; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng là:

2(x – 2) – (y+3) + 0.(z -1) = 0 hay 2x – y – 7 = 0.

Đường thẳng hình chiếu Δ phải thoả mãn hệ sau:  

Điểm M₀(4; 1; 0) ∈ Δ; vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ vuông góc với và vuông góc với . Vậy, ta lấy = [, ] = (1; 2; 0).

Phương trình tham số của hình chiếu Δ có dạng: 

b) Tương tự như câu a), mặt phẳng (Oyz) có phương trình x = 0.

Lấy điểm M1(2; -3; 1) ∈ d và M₂(0; -7; -5) ∈ d.

Hình chiếu vuông góc của M1 lên mặt phẳng (Oyz) là điểm M1(0; 3; 1) còn hình chiếu vuông góc của M₂ lên (Oyz)là chính nó.

Do đó đường thẳng M1‘M₂ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên (Oyz).

Ta có: = (0; – 4; – 6) //  = (0; 2; 3).

Vậy phương trình hình chiếu của d trên (Oyz) có dạng là: